Notas del Libro de Cálculo del Porfesor Lomelí
FALTA EDITAR
5. Continuidad.
5.1 Introducción
En las Ciencias Naturales y en particular en la Física cuando observamos los ambientes o alrededores en que se desarrollan los fenómenos llegamos a la percepción de un medio físico que puede ser sólido, líquido o gaseoso, a las que denominamos fases. Es bien conocido ahora que estos medios físicos son en realidad una acumulación de un gran número de partículas en movimiento; pero esta partículas
Desde el punto de vista puramente matemático, el concepto de continuidad es uno de los más importantes en el análisis de funciones reales de variable real.
En el capítulo 2 se estudió la importancia que tiene el Axioma del Supremo en la estructura del sistema de los números reales R; así, por ejemplo, se demostró la existencia de los números irracionales como \/2; en el capítulo 3 se definió el concepto de función y las operaciones entre funciones y en el capítulo 4 se definió el concepto de límite y los procedimientos para hacer cálculos de límites de funciones. En este capítulo pretendemos establecer propiedades de las funciones continuas y algunas de sus consecuencias más inmediatas utilizando los conceptos mencionados en los capítulos respectivos. En la mayoría de las demostraciones de las propiedades de las funciones continuas se utiliza el Axioma del Supremo.
En el capítulo anterior al estudiar cualitativamente el concepto de límite, se recurrió a la gráfica de la función que se analizaba. Pudimos observar que en los puntos donde la función no estaba definida ‘o el límite no exista; la gráfica de la función se “cortaba”, sucediendo lo que se menciona en el primer párrafo.
Nuestra idea intuitiva de una función continua es que su gráfica se puede trazar sin dichos “cortes”. Esto nos indica que la definición formal de continuidad debe subsanar los dos aspectos que mencionaron.
Como la definición de continuidad está íntimamente relacionada con la de límite, las ideas del capítulo 4 serán de gran utilidad en el desarrollo del presente tema.
5.2 Continuidad en un punto
En el capítulo 4 se estudio con detalle la idea intuitiva del concepto del límite de una función y su definición formal se estableció de manera que se correspondieran; así es como se formalizó la idea de si la variable x está suficientemente cerca de xo entonces su imagen f(x) está arbitrariamente cerca de L y se representó por
lim f(x) = L
x>xo
Pero se hizo énfasis en que dicha definición se referían aquellos puntos xxo y que no era necesario que la función estuviese definida en el punto xo. Ahora bien, en el caso de que el punto xo pertenezca al dominio de la función y además ocurra que f(xo)=L, entonces decimos que la función es continua en dicho punto.
Definición 5.1 Continuidad en un punto.
Una función es continua en un punto xo en Domf si
lim f(x) = f(xo).
x>xo
Observemos que en esta definición se requiere que se cumplan las siguientes condiciones:
a) f(xo) esté definido,
b) lim f(x) exista,
x>xo
c) lim f(x) = f(xo).
x>xo
Como veremos en algunos de los ejemplos de esta sección, en ..cambiar cada una por alguna
el caso de que no se satisfaga cada una de dichas condiciones tendremos que la función no es continua en el punto en cuestión.
Vemos, además, que la definición de continuidad en un punto involucra el concepto de límite que habamos definido de manera formal en el capítulo 4. Podemos, entonces, reformular la definición de la manera siguiente:
Una función es continua en el punto xo en Domf si para cada e>0 existe una d>0 tal que
|f(x) f(xo)| < e, siempre que x esté en Domf y
|x xo| < d.
Debemos enfatizar que en este caso no requerimos de la restricción 0‹|x xo| ya que se cumple |f(xo) f(xo)| = 0 < e.
Definición 5.2 Continuidad sobre un conjunto.
La función f es continua sobre un conjunto A C Domf si la función restringida al conjunto A, denotada por f|A, es continua en cada punto de A.
Como tratamos con funciones reales de variable real, el conjunto A es, en la mayoría de los casos, un intervalo. Si tenemos que A es el intervalo abierto (a,b), la definición 5.2 nos dice que f es continua sobre el intervalo abierto (a,b) si f es continua en cada punto de (a,b), conforme a la definición 5.1. En el caso de que A sea un intervalo cerrado [a,b]; decimos que f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] si f es continua sobre el intervalo abierto (a,b) y además los límites laterales derecho e izquierdo son:
lim f(x) = f(a)
x>a+
y
lim f(x) = f(b)
x>b
en cuyo caso decimos que f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
Por supuesto que la definición puede extenderse a los demás tipos de intervalos que se han manejado.
Ejemplo 5.1 Continuidad de las funciones constante e idéntica.
i) La función constante es continua sobre R.
Para toda x en R tenemos que f(x) = c, entonces
lim f(x) = lim c = c = f(a)
x>a x>a
para cada a en Domf = R.
ii) La función idéntica es continua sobre R.
Para toda x en R tenemos que f(x) = x, entonces
lim f(x) = lim x = a = f(a)
x>a x>a
para cada a en Domf = R.
Una función se dice que es discontinua en un punto xo si la función no es continua en el punto xo. Clasificamos a las discontinuidades en dos tipos: removibles y no removibles. En el caso de la discontinuidad removible la función f se puede hacer continua en el punto xo si redefinimos la función en dicho punto de manera que se ajuste a la definición, en caso contrario tenemos que la discontinuidad es no removible.
Ejemplo 5.2 Sea f la función con Domf = R y regla de correspondencia:
x 1, x /= 0
f(x) =
0, x = 0
La función es continua en todos los puntos excepto en cero, ya que en este caso
lim f(x) = 1,
x>0
y, por otra parte tenemos que f(0) = 0, con lo cual no se cumple la tercera condición de la definición 5.1. Pero, obviamente en este caso la discontinuidad puede ser removida si redefinimos la función en el punto 0 de manera que f(0) = 1.
Ejemplo 5.3 La función entero máximo [ ] no es continua en k, donde k es un entero.
En base a la definición ed del límite se puede demostrar que para la función [ ] con regla de correspondencia:
[x] = k 1, donde x está en [k1,k)
se tiene que
lim [x] = k 1, lim [x] = k
x>k x>k+
es decir que
lim [x]
x>k
No existe y en consecuencia no se cumple la segunda condición de la definición 5.1. En este caso tenemos una discontinuidad para cada k en Z. En el caso de que los límites laterales existan pero sean diferentes, como en este ejemplo, decimos que tenemos una discontinuidad de salto, y se dice que el salto es el valor absoluto de la diferencia de los límites laterales; que en este caso nos da un salto de 1 para cada punto de discontinuidad. También, ya que en este caso se cumple que
lim [x] = k
x>k+
decimos que f es continua por la derecha en k.
Ejemplo 5.4 Sea f la función con Domf = R y regla de correspondencia:
1/x, x0
f(x) =
1, x = 0
La función es discontinua en 0 y en este caso la discontinuidad es no removible ya que no podemos redefinir f(0) de manera que se cumpla la tercera condición de la definición. Por otra parte, observemos que si restringimos esta función a los intervalos (oo,0) o (0,oo), entonces la función es continua sobre dichos intervalos.
Una función se dice que es seccionalmente continua sobre un intervalo cerrado [a,b], si el intervalo puede subdividirse en un número finito de intervalos abiertos en cada uno de los cuales la función es continua y tiene límites laterales izquierdo y derecho finitos.
Para aclarar la definición anterior consideremos una función f continua en todos los puntos del intervalo cerrado [a,b] con excepción de un número finito de puntos, por ejemplo:
a, x1, x2, . . . , xn, b;
donde
a < x1 < x2 < . . . < xn < b.
Obviamente, f es continua sobre los intervalos abiertos (a,x1), (a,x2), . . . ,(xn,b); pero, no necesariamente está definida en los puntos inicial y final, que denominamos puntos orilla, de tales intervalos, por lo cual requerimos que existan los límites laterales izquierdo y derecho finitos. De esta manera concluimos que las funciones continuas son casos especiales de funciones seccionalmente continuas.
Ejemplo 5.5 La función f con Domf = [0,3] y con regla de correspondencia:
x+1, 0x<1
f(x) = 2, 1x<2
1x, 2×3
es seccionalmente continua sobre [0,3] ya que es continua sobre los intervalos abiertos (0,1), (1,2) y (2,3) y existen los correspondientes límites laterales en los puntos orilla de dichos intervalos y éstos son finitos:
lim f(x) = 1
x>0+
lim f(x) = 2 lim f(x) = 2
x>1 x>1+
lim f(x) = 2 lim f(x) = 1
x>2 x>2+
lim f(x) = 2.
x>3+
Ejemplo 5.6 La función f con regla de correspondencia:
x + 4
f(x) =
x2 4x
tiene como dominio todos los reales excepto los puntos x=0 y x=4 donde la función no está definida; y, por lo tanto, son puntos de discontinuidad de la función. La función es continua sobre los intervalos abiertos (oo,0), (0,4) y (4,oo). Sin embargo, observemos que tenemos asintotas verticales en los puntos x=0 y x=4:
lim f(x) = oo lim f(x) = oo
x>4+ x>4
y
lim f(x) = oo lim f(x) = oo
x>0+ x>0
de tal forma que es imposible tener una función seccionalmente continua sobre un intervalo [a,b] C R que contenga a los puntos x=0 y x=4.
Las funciones seccionalmente continuas tienen un papel central en el cálculo operacional que incluye temas como la transformada de Laplace, series de Fourier y sus aplicaciones a problemas de vibraciones, conducción de calor, etc.
Ejercicios.
Hallar, si existen, las discontinuidades de cada función, especificando que condición de la definición 5.1 no se cumple y clasifíquelas como removibles o no removibles:
1
1. f(x) =
x2 + 1
x 5
2. f(x) =
x2 25
x + 7, x2
3. f(x) =
7 x, x>2
4. f(x) = |3x + 2|
5. f(x) = [x 1]
Utilice la definición para demostrar que cada función es discontinua en el punto xo y determine los intervalos sobre los cuales la función es continua.
6. f(x) = \/ 2 x2 , xo = 2
|x 4|, x4
7. f(x) = xo = 4
3, x=4
x3 64
8. f(x) =
x 2 xo = 2
x
9. f(x) =
x + 7 xo = 7
x 2
10. f(x) =
x2 x 2 xo = 1, 2
Demuestre que la función es seccionalmente continua sobre R.
Calcule el salto en cada punto de discontinuidad.
2, x1
11. f(x) = x 4, 1<x<5
2, x5
|x 3|, x<0
12. f(x) = 1, x=0
x 3. x>0
Explique por qué las funciones dadas no son seccionalmente continuas sobre R. Especifique el Dom f sobre el cual las funciones son continuas.
x3 64
13. f(x) =
x 2 xo = 2
x
14. f(x) =
x + 7 xo = 7
x 2
15. f(x) =
x2 x 2 xo = 1, 2
5.3 Continuidad en operaciones de funciones
Utilizando las definiciones de las operaciones de funciones y los correspondientes teoremas sobre límites podemos demostrar el siguiente teorema:
Teorema 5.1 Continuidad en operaciones de funciones.
Si las funciones f y g son continuas en el punto xo, entonces la suma f + g, la diferencia f g, el producto fg son también continuas en el punto xo; y f/g es continua en xo si g(xo)0.
Demostración:
Ya que f y g son funciones continuas en xo, tenemos que
lim f(x) = f(xo) y lim g(x) = g(xo)
x>xo x>xo
y utilizando el teorema 4. sobre la suma de límites y la definición de la operación de suma, obtenemos
lim [f + g](x) = lim f(x) + lim g(x) =
x>xo x>xo x>xo
= f(xo) + g(xo) = [f + g](xo)
y por lo tanto, f + g es continua en xo.
Procedemos de manera análoga para el producto:
lim [fg](x) = [lim f(x)][lim g(x)] =
x>xo x>xo x>xo
= f(xo)g(xo) = [fg](xo)
y por lo tanto, fg es continua en xo.
Las demostraciones para la diferencia f g y el cociente f/g se hacen de manera análoga y se dejan como ejercicio.
La extensión a continuidad sobre un conjunto se sigue de las definiciones correspondientes dadas en la sección anterior; en esta vimos que la función constante y la función idéntica son funciones continuas sobre R. Ahora, usamos estos ejemplos y el teorema 5.1 para analizar la continuidad de otras funciones.
Ejemplo 5.7 Continuidad de la función polinomial.
La función polinomial o simplemente polinomio se construye por productos y sumas de la función idéntica y de funciones constantes que son funciones continuas sobre R; por ejemplo el polinomio de grado n es
p(x) = anxn + an1xn1 + . . . + a2×2 + a1x + ao
Donde an0. Por inducción matemática y el resultado del teorema 5.1 sobre la continuidad del producto y suma de funciones concluimos que cualquier polinomio es una función continua sobre R.
Ejemplo 5.8 Continuidad de la función racional.
Definimos la función racional como un cociente de dos polinomios, esto es
r(x) = p(x)/q(x), q(x)0
Donde p y q son polinomios. Por el teorema 5.1 el cociente de funciones continuas es una función continua en todos los puntos tales que q(x)0, es decir el dominio de la funcin racional r.
Una manera más directa de obtener las conclusiones de los dos ejemplos anteriores es utilizando el teorema 4.4 de sustitución.
Más adelante se demostrará que la funcin raz nsima, si n es un entero positivo, es una funcin continua, por un camino mucho más sencillo que el utilizado en el capítulo 4 en base a la definición ed. A continuación vamos a demostrar que la composición de funciones continuas es una funcin continua y, de esta manera podemos concluir que todas las funciones algebraicas son funciones continuas en todos los puntos de su dominio.
Teorema 5.2 Continuidad de la composición de funciones.
Sea g continua en el punto to y f continua en el punto xo, donde xo = g(to), entonces la composición de funciones fog es continua en el punto xo.
Demostración:
Como f es continua en xo, para cada e1>0 existe una d1>0 tal que
|f(x) f(xo)| < e1
Siempre que x esté en el Dom f y 0 ‹ |x xo| < d1. Pero, como xo= g(to) y g es continua en el punto to, para cada e2›0 hay una d2>0 tal que
|g(t) g(to| = |g(t) xo| < e2
Siempre que t esté en el Dom g y 0 ‹ |t to| < d2.
No hay ninguna restricción para que tomemos en este caso d1=e2 y denotemos x = g(t). Podemos combinar las premisas anteriores de la siguiente manera: si t está en Dom fog y
0 ‹ |t to| < d2,
entonces t está en Dom g y por la continuidad de g en to
|g(t) xo| < e2
o bien
|x xo| < d1
donde x = g(t) está en Dom f y por la continuidad de f en xo
|f(x) f(xo)| < e1
o bien
|f(g(t)) f(g(to))| < e1.
En resumen, hemos demostrado que para cualquier e1>0 existe un d2>0 tal que
|f(g(t)) f(g(to))| < e1
Siempre que t esté en Dom fog y 0 ‹ |t to| < d2; o sea
lim [fog](x) = f(g(to))
t>to
lo cual significa que fog es continua en el punto to.
En base a los teoremas 5.1, 5.2 y a los ejemplos que se han realizado sobre las funciones polinomiales, racionales y la raz nsima podemos concluir que todas las funciones algebraicas son funciones continuas.
Podemos utilizar los resultados anteriores de diversas maneras como se podrá ver más adelante; pero, una aplicación inmediata la tenemos en el cálculo de límites de funciones algebraicas simple que como ya mencionamos son continuas en su dominio correspondiente.
Ejemplo 5.9 Calcule los límites siguientes:
i) lim x2 2
x>0
x + 3
ii) lim
x>1 x2 + x + 1
iii) lim \/x3 x
x>1
En cada uno de los incisos anteriores se requiere encontrar el límite
lim f(x)
x>xo
y podemos observar que el punto xo es un punto en Dom f para cada una de las funciones algebraicas y en consecuencia f es continua en dicho punto; por lo tanto, podemos aplicar
lim f(x) = f(xo)
x>xo
de acuerdo a los resultados de esta sección y de la misma manera que se utilizó el teorema 4.4 de sustitución en el cálculo de límites:
i) f(x) = x2 2, f(xo) = f(0) = 2.
x + 3
ii) f(x) = f(xo) = f(1) = 4/3.
x2 + x + 1
iii) f(x) = \/x3 x f(xo) = f(1) = 0.
Ejercicios.
1. Demostrar que si f y g son continuas en xo, entonces la diferencia f g es continua en xo.
2. Demostrar que si f y g son continuas en xo y g(xo)0, entonces el cociente f/g es continuo en xo.
En los siguientes ejercicios aplicar los teoremas 5.1 y 5.2 para determinar el conjunto A sobre el cual las funciones dadas son continuas.
3. f(x) = x4(x2 + 2x 6)
4. f(x) = \/x + 2
5. f(x) = |2x + 3|
x 1
6. f(x) =
x3 1
7. f(x) = (1 x2)1/3
Encontrar el lmite
8. lim[x4(x2 + 2x 6)]
x>2
9. lim\/x + 2
x>3
10. lim|2x + 3|
x>3
x 1
11. lim
x>0 x3 1
12. lim (1 x2)1/3
x>3
13. Utilizando la definición de continuidad sobre conjunto, especifquela para los siguientes tipos de intervalos: [a,b), (a,b], [a,oo), (a,oo), (oo,b) y (oo,b].
14. Determine si la funcin es continua en cada uno de los intervalos indicados:
|x 1|
f(x) = ; (oo,1),(oo,1],[1,1],(1,oo),(1,oo).
x 1
15. Encontrar los valores de las constantes a y b para que la funcin sea continua sobre R. Grafique la funcin.
ax, x<2
f(x) =
ax2 + bx, x2
5.4 Teoremas fundamentales de continuidad
En esta sección y en la siguiente vamos a demostrar algunos teoremas relacionados con propiedades especiales de las funciones continuas. Algunos resultados los utilizaremos para establecer otros, de manera que es conveniente llevar una secuencia. Debido a esto algunas de las demostraciones se realizan en la sección 5.5 a la que se puede acudir de acuerdo al desarrollo del tema o bien postergarlo para un estudio más detenido después de esta sección.
Hacemos resaltar que en la demostración de varias de las propiedades se utiliza el axioma del supremo del sistema de los números reales.
5.4.1 Teorema del valor intermedio
Como se ha insistido en repetidas ocasiones, siempre que sea posible, es de gran ayuda la visualización geométrica de las propiedades que se analicen. Aquí tenemos la oportunidad de realizarlo porque la interpretación geométrica, por una parte nos ilustra la propiedad y; por otra parte, nos marca alguna pauta para realizar la prueba formal.
Nuestra meta es probar el teorema del valor intermedio que es una consecuencia inmediata del teorema de Bolzano, que denominamos ahora submeta B. A su vez, dicha submeta la alcanzamos al demostrar el teorema de preservación de signo, que establecemos como submeta A. De esta manera seguimos el camino submeta A => submeta B => Meta.
Teorema 5.3 Propiedad de preservación de signo.
Si f es una funcin continua en el punto xo y y1<f(xo)<y2, entonces existe un número d > 0 tal que
y1 < f(x) < y2
para toda x en Dom f y |x xo| < d.
La figura ilustra la propiedad enunciada:
Demostración:
Paso 1. Como f es continua en xo, para cada e > 0 existe un d > 0 tal que siempre que x esté en Dom f y |x xo| < d, entonces
|f(x) f(xo)| < e
‘o
f(xo) e < f(x) < f(xo) + e.
Paso 2. Como además se tiene que y1 < f(xo) < y2, también es cierto que
y1 < f(xo) e < f(xo) < f(xo) + e < y2
si tomamos = min{y2 f(xo), f(xo) y1}.
Paso 3. De las desigualdades de los pasos anteriores se concluye que
y1 < f(xo) e < f(x) < f(xo) + e < y2
para toda x en Dom f y |x xo| < d.
@
Corolario.
Si f es una funcin continua en c y f© /= 0, entonces existe un número d > 0 tal que f(x) /= 0 siempre que x esté en Domf y |x c| < d.
El corolario nos indica que en un intervalo alrededor del punto c la funcin f toma valores con el mismo signo que f©.
Teorema 5.4 Teorema de Bolzano.
Si f es una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que f© = 0.
La figura ilustra claramente la propiedad enunciada:
Es claro que puede haber más de un valor x en [a,b] para los cuales f(x) = 0. Para demostrar el teorema necesitamos encontrar uno de ellos; y, precisamente vamos a encontrar la mayor de las x en [a,b] para la cual f(x) = 0.
En Análisis Numérico se denomina algoritmo de bisección o método de búsqueda binaria al procedimiento basado el teorema de Bolzano para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0. Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0 y aunque puede haber más de una raíz en el intervalo (a, b), supondremos que la raz c en este intervalo es única. Para otras raíces en otro intervalo se sigue el mismo algoritmo.
En este método dividimos sucesivamente a la mitad a los subintervalos de [a, b] y, en cada paso, localizamos la mitad que contiene a la raíz c. Empezamos por tomar
a = a1 b = b1
y
c1 = (a1 + b1)/2
el punto medio de [a,b]. Si f(c1)=0, entonces c = c1. En caso contrario; entonces f(c1) tiene el mismo signo que f(a1) o f(b1).
Comparamos los signos de f(c1) y f(a1) y si son del mismo signo, entonces la raíz c está en el intervalo (c1,b1), y tomamos a2=c1 y b2=b1. Si f(c1) y f(b1) son del mismo signo, entonces la raíz c está en el intervalo (a1,c1) y tomamos a2=a1 y b2=c1. Se repite el proceso para el nuevo intervalo [a2,b2]. La figura ilustra un paso del algoritmo:
Ejemplo 5.9 Calcule aproximadamente las raíces de la ecuación:
x3 + 4×2 9 = 0.
La funcin f(x) = x3 + 4×2 9 aumenta cuando x aumenta, así que la ecuación puede tener cuando más una raíz real. Claramente f es una funcin continua sobre R. Buscamos dos puntos a y b en los cuales los valores de la funcin tengan signos opuestos. Puede verse que a=1 y b=2 son tales que f(a)=4 y f(b)=11; por lo tanto la funcin es continua sobre el intervalo cerrado [1,2] y la ecuación tiene una raíz c en el intervalo abierto (1,2). El algoritmo de bisección da los valores siguientes:
n a1 b1 c1 f(c1)
1
2
3
.
.
El algoritmo continua hasta un número máximo de iteraciones N tal que se satisfaga una de las siguientes condiciones:
|pN pN1| < e
o
|f(pN| < e
Donde e>0 es la tolerancia que se selecciona para obtener la aproximación. Este error puede hacerse tan pequeño como se desee; pero en este caso repercute en el número de iteraciones N.
Como consecuencia inmediata del teorema de Bolzano tenemos una propiedad de gran importancia de las funciones continuas.
Teorema 5.5 Teorema del valor intermedio.
Si f es una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y escogemos puntos arbitrarios x1 < x2 en [a,b] tal que f(x1) /= f(x2), entonces f toma cada uno de los valores entre f(x1) y f(x2) sobre el intervalo abierto (x1, x2).
La siguiente figura nos ilustra el contenido del teorema:
Podemos visualizar que si t es un número cualquiera tal que f(x1) < t < f(x2), entonces debe existir un número c en (x1,x2) tal que f© = t.
Demostración:
Paso 1. Supongamos que f(x1)<f(x2) y t un número cualquiera tal que f(x1) < t < f(x2) y definamos la funcin g sobre el intervalo cerrado [x1,x2] por la regla de correspondencia:
g(x) = f(x) t.
Paso 2. Entonces g es continua sobre el intervalo cerrado [x1,x2], de acuerdo al teorema 5.2, y por la hipótesis adicional del paso anterior, tenemos que
g(x1) = f(x1) t < 0, g(x2) = f(x2) t > 0.
Paso 3. Aplicamos el teorema de Bolzano a la funcin g y obtenemos que g© = 0, o bien f© = t, para alguna c en el intervalo abierto (x1,x2).
@
Se puede ilustrar la importancia del teorema anterior al establecer algunas aplicaciones de interés.
Teorema 5.6 Teorema de existencia de la raíz nsima.
Si a>0 en R y n>0 en Z, entonces existe exactamente un número b>0 en R tal que bn = a.
Demostración:
Paso 1. Sea c un número entero tal que a < c; entonces c _> 1 y se tiene que
0 < a < c _< cn.
Paso 2. Consideremos la funcin f definida sobre el intervalo cerrado [0,c] por la ecuación
f(x) = xn,
esta funcin es continua sobre [0,c] y
f(0) = 0 < a < cn = f ©.
Paso 3. Aplicamos el teorema del valor intermedio directamente y sabemos que existe un número, que llamamos b, en el intervalo abierto (0,c) tal que
f(b) = bn = a,
Que prueba la existencia de al menos un número positivo b tal que bn = a. Como por otra parte, f aumenta cuando x aumenta tenemos que b es el único número con esta propiedad.
@
El siguiente teorema nos enuncia la propiedad que permite caracterizar a los diferentes tipos de intervalos que se han utilizado hasta el momento.
Teorema 5.7 Un subconjunto S de R es un intervalo si y solo si para dos puntos cualquiera x1, x2 en S donde x1<x2 se tiene que (x1,x2) C S.
Como consecuencia de este teorema y el teorema del valor intermedio procedemos a establecer que la imagen de un intervalo bajo una funcin continua es asimismo un intervalo.
Teorema 5.8 Imagen de intervalo.
Si f es una funcin continua sobre un intervalo I, entonces f(I) es un intervalo.
Aquí denotamos la imagen del intervalo I como
f(I) = {f(x): x está en I}.
Demostración:
Paso 1. Supongamos que el conjunto f(I) contiene al menos dos puntos f(x1), f(x2) con f(x1)<f(x2).
Paso 2. si t en un elemento del intervalo abierto (f(x1),f(x2)), por el teorema del valor intermedio, existe un punto c en el intervalo abierto (x1,x2) tal que f© = t.
Paso 3. Por lo tanto, t pertenece a f(I) y por el teorema 5. concluimos que f(I) es un intervalo.
@
5.4.2 Teorema del valor extremo
Como ya quedó establecido que la imagen f(I) es un intervalo cuando f es continua sobre I podemos decir que f está acotada superiormente o acotada inferiormente o acotada sobre I, contenido en el dominio de la funcin, si f(I) es un conjunto acotado superiormente o acotado inferiormente o acotado, respectivamente.
Definición 5.3
El supremo de f en I, denotado por sup f, y el ínfimo de f en I, denotado por inf f, son el supremo y el ínfimo del conjunto f(I).
Teorema 5.9 Acotamiento de funciones continuas.
Si f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces f está acotada sobre [a,b].
Teorema 5.10 Teorema del valor extremo.
Si f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces existen puntos c y d en [a,b] tales que
f© = sup f y f(d) = inf f.
Es suficiente con demostrar que f alcanza su supremo sobre el intervalo [a,b]. La prueba de la otra parte se realiza de manera análoga.
Demostración:
Paso 1. Sea M = sup f y supongamos que para toda x en el intervalo cerrado [a,b], f(x) /= M.
Paso 2. La funcin g, con regla de correspondencia
1
g(x) =
M f(x)
es continua sobre el intervalo [a,b] de acuerdo al teorema 5.
Paso 3. Según el teorema de acotamiento, g es acotada sobre [a,b]; es decir, existe c>0 tal que |g(x)| _< c para toda x en [a,b]. Esto es
1
_< c
M f(x)
Paso 4. De modo que
f(x) _< M 1/c
para toda x en [a,b], lo cual es una contradicción a la hipótesis de que M = sup f.
@
Combinando los teoremas 5.8 y 5.10 podemos concluir que la imagen f(I) de un intervalo cerrado I = [a,b] y acotado bajo una funcin continua es un intervalo cerrado y acotado, específicamente el intervalo [c,d], donde c = inf f y d = sup f.
La funcin f definida sobre un conjunto A de números reales se dice que tiene un (valor) máximo absoluto sobre A si existe al menos un punto c en A tal que
f© _> f(x) para toda x en A.
Al número f© le llamamos valor máximo absoluto de f sobre A. Una definición análoga puede darse para el (valor) mínimo absoluto de una funcin sobre A, intercambiando _> por .
El teorema del valor extremo para funciones continuas puede enunciarse ahora como:
Si f es una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces f tiene un (valor) máximo absoluto y un (valor) mínimo absoluto sobre el intervalo [a,b].
5.4.3 Otros teoremas de continuidad
De acuerdo a nuestra definición de continuidad de la funcin f sobre un conjunto S C Dom f, tenemos que para cualquier e>0, existe un d>0 tal que |f(x1) f(x2)|<e si x2 está en S y
|x1 x2|<d.
En general, el número d>0 depende del número e>0 que se seleccione y del punto x2 en S como se ilustra con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 5.10 Analice la funcin f(x) = x2 que es continua sobre R.
La gráfica de la funcin nos ilustra claramente que para cada e>0 es posible encontrar un d(x)>0 tal que para todo x en R y para todo y en el intervalo abierto (xd,x+d), entonces
|x2 y2| = |x + y||x y| < e
Es decir, para toda x en lo reales es posible encontrar un d(x)>0 tal que si |x y| ‹ d(x), entonces |x + y||x y| < e; pero, como observamos en la gráfica el d(x) depende del punto particular x en R.
Definición 5.4 Continuidad uniforme.
La funcin f es uniformemente continua sobre S C Dom f, si para cada e>0, existe un d>0 tal que para todo x1 en S
|f(x1) f(x2)| < e
si x2 está en S y |x2 x1| < d.
De la definición anterior se puede concluir que la funcin f es uniformemente continua si el número d>0 depende solo del número e>0 y no del punto particular x2 en S. Regresamos al ejemplo anterior.
Ejemplo 5.11 Demuestre que f(x) = x2 no es uniformemente continua sobre R.
Demostración:
Podemos elaborar un razonamiento indirecto para probar lo anterior.
Dado e > 0 suponga que existe un d > 0 tal que para toda x en R
|x + idos vaya < e
siempre que |x vayan < d. Seleccionemos x, y de manera que
|xid ‹ d/2 < d y |x + id =3e/d;
entonces
|x2 y2| = |x + idos id < (3e/d)(d/2) = 3e/2 › e.
Obtenemos una contradicción. En efecto, dado un e > 0, es imposible encontrar un d > 0 tal que para |x y| ‹ d siempre tengamos que |x2 y2| < e.
Ahora bien si f es continua sobre el intervalo cerrado I = [a, b], por el teorema 5.8 tenemos que f(I) es un intervalo [m,M] donde M y m son los valores máximo y mínimo absoluto respectivamente. Denominemos a la diferencia M m el recorrido de f sobre [a,b]. Es claro que cualquier subintervalo contenido en [a,b] tiene un recorrido menor que M m.
Continuidad uniforme implica continuidad, pero el recíproco no es cierto en general. Sin embargo, si f es una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces f es uniformemente continua sobre el intervalo [a,b].
Teorema 5.11 Propiedad de continuidad uniforme.
Sea f una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces para cualquier e>0 existe una partición de [a,b] en un número finito de subintervalos tal que el recorrido de f en cada subintervalo es menor que e>0.
Teorema 5.12 Continuidad de la funcin inversa.
Sea f una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y estrictamente creciente sobre [a,b]. Sea c=f(a) y d=f(b) y g la funcin inversa de g; entonces
i) g es continua sobre el intervalo cerrado [c,d] y;
ii) g es estrictamente creciente sobre [c,d].
Decimos que f es estrictamente creciente sobre [a,b] si f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 en [a,b] tales que x1<x2.
El inciso (ii) nos indica que g es una funcin estrictamente creciente si f es estrictamente creciente. Más adelante se analizarán este tipo de funciones.
Una vez que se definan las funciones estrictamente decrecientes se puede enunciar la propiedad establecida en el teorema anterior; es decir, la inversa de una funcin continua estrictamente decreciente es continua y estrictamente decreciente.
Ejemplo 5.11 Demuestre que la funcin raíz nsima es continua.
La funcin g con regla de correspondencia
g(y) = y1/n, donde y>0
se denomina raíz nsima y como consecuencia del teorema anterior, es una funcin continua y estrictamente creciente sobre el intervalo [c,d] con 0<c<d ya que es la inversa de una funcin continua y estrictamente creciente f definida por la regla de correspondencia f(x) = xn sobre el intervalo [a,b]. Es claro que la funcin potencia rsima con regla de correspondencia
h(y) = yr, donde y>0
y r es un número racional r = m/n, es una funcin continua por el teorema 5.1, que establece que el producto de funciones continuas es una funcin continua.
Ejercicios.
1. Demostrar el corolario 5.1.
2. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones con una exactitud de 0.1 para
2.1 x3 x 1 = 0 en el intervalo [1,2].
2.2 x tanx = 0 en el intervalo [4,9/2].
3. Demuestre que si a<0 y n es un entero positivo impar, entonces existe un número b<0 tal que bn = a.
4. Determine la imagen de los intervalos dados de acuerdo a la funcin indicada:
4.1 [0,1]; f(x) = x3 1.
4.2 (0,2]; f(x) = 1/x.
4.3 (1,1); f(x) = x2 + 2x + 1.
5. Demuestre que la funcin idéntica es uniformemente continua sobre R.
[O]
5.5 Demostraciones de los teoremas de continuidad
Teorema 5.3 Propiedad de preservación de signo.
Si f es una funcin continua en el punto xo y y1<f(xo)<y2, entonces existe un número d > 0 tal que
y1 < f(x) < y2
para toda x en Dom f y |x xo| < d.
La figura ilustra la propiedad enunciada:
Demostración:
Paso 1. Como f es continua en xo, para cada e > 0 existe un d > 0 tal que siempre que x esté en Dom f y |x xo| < d, entonces
|f(x) f(xo)| < e
‘o
f(xo) e < f(x) < f(xo) + e.
Paso 2. Como además se tiene que y1 < f(xo) < y2, también es cierto que
y1 < f(xo) e < f(xo) < f(xo) + e < y2
si tomamos tomamos e = min{y2 f(xo), f(xo) y1}.
Paso 3. De las desigualdades de los pasos anteriores se concluye que
y1 < f(xo) e < f(x) < f(xo) + e < y2
para toda x en Dom f y |x xo| < d.
@
Corolario.
Si f es una funcin continua en c y f© /= 0, entonces existe un número d > 0 tal que f(x) /= 0 siempre que x esté en Dom f y |x c| < d.
El corolario nos indica que en un intervalo alrededor del punto c la funcin f toma valores con el mismo signo que f©.
Teorema 5.4 Teorema de Bolzano.
Si f es una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que f© = 0.
La figura ilustra claramente la propiedad enunciada:
Es claro que puede haber más de un valor x en [a,b] para los cuales f(x) = 0. Para demostrar el teorema necesitamos encontrar uno de ellos; y, precisamente vamos a encontrar la mayor de las x en [a,b] para la cual f(x) = 0.
Demostración:
Paso 1. Sin perder generalidad podemos suponer que f(a)<0 y f(b)>0, como se ilustra en la figura anterior.
Paso 2. Sea
S = {x: x está en [a,b] y f(x) < 0}.
El conjunto S no es vació ya que a está en S, debido al paso anterior f(a)<0. También S está acotado superiormente ya que S es subconjunto del intervalo [a,b].
Paso 3. Aplicamos el axioma del supremo del sistema de los números reales al conjunto S. Sea c = sup S. Como lo habamos propuesto antes de iniciar la demostración, vamos a probar que f© = 0.
Paso 3.1 Por la propiedad de tricótoma de los números reales, se tienen tres casos: f©>0, f©<0 y f© = 0.
Paso 3.2 Si f©>0, por el teorema de preservación de signo, existe un intervalo (cd, c+d) que contiene puntos x tal que f(x)>0. De aquí que ningún punto de S puede estar a la derecha de cd; pero esto quiere decir que cd es una cota superior de S. Ahora bien, d>0 y cd<c; sin embargo habamos supuesto que c era la mínima cota superior (supremo) de S. Tenemos una contradicción y en consecuencia f©>0 es falso.
Paso 3.3 Si f©<0, nuevamente por el teorema 5.3, existe un intervalo (cd, c+d) que contiene puntos x tal que f(x)<0. De aquí que f(x)<0 para alguna x>c lo cual contradice que c es una cota superior de S; y, por lo tanto f©<0 es falso.
Paso 4. De acuerdo a los pasos anteriores la única posibilidad es que f© = 0. También debe quedar claro que a<c<b debido a que f(a)<0 y f(b)>0.
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Teorema 5.5 Teorema del valor intermedio.
Si f es una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y escogemos puntos arbitrarios x1 < x2 en [a,b] tal que f(x1) /= f(x2), entonces f toma cada uno de los valores entre f(x1) y f(x2) sobre el intervalo abierto (x1, x2).
La siguiente figura nos ilustra el contenido del teorema:
Podemos visualizar que si t es un número cualquiera tal que f(x1) < t < f(x2), entonces debe existir un número c en (x1,x2) tal que f© = t.
Demostración:
Paso 1. Supongamos que f(x1)<f(x2) y t un número cualquiera tal que f(x1) < t < f(x2) y definamos la funcin g sobre el intervalo cerrado [x1,x2] por la regla de correspondencia:
g(x) = f(x) t.
Paso 2. Entonces g es continua sobre el intervalo cerrado [x1,x2], de acuerdo al teorema 5.2, y por la hipótesis adicional del paso anterior, tenemos que
g(x1) = f(x1) t < 0, g(x2) = f(x2) t > 0.
Paso 3. Aplicamos el teorema de Bolzano a la funcin g y obtenemos que g© = 0, o bien f© = t, para alguna c en el intervalo abierto (x1,x2).
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Teorema 5.6 Teorema de existencia de la raíz nsima.
Si a>0 en R y n>0 en Z, entonces existe exactamente un número b>0 en R tal que bn = a.
Demostración:
Paso 1. Sea c un número entero tal que a < c; entonces c _> 1 y se tiene que
0 < a < c _< cn.
Paso 2. Consideremos la funcin f definida sobre el intervalo cerrado [0,c] por la ecuación
f(x) = xn,
esta funcin es continua sobre [0,c] y
f(0) = 0 < a < cn = f ©.
Paso 3. Aplicamos el teorema del valor intermedio directamente y sabemos que existe un número, que llamamos b, en el intervalo abierto (0,c) tal que
f(b) = bn = a,
que prueba la existencia de al menos un número positivo b tal que bn = a. Como por otra parte, f aumenta cuando x aumenta tenemos que b es el único número con esta propiedad.
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Teorema 5.7 Un subconjunto S de R es un intervalo si y solo si para dos puntos cualquiera x1, x2 en S donde x1<x2 se tiene que (x1,x2) C S.
Demostración:
Paso 1. Supongamos que S consiste cuando menos de dos puntos y está acotado. Sean a = inf S y b = sup S.
Paso 2. Tomemos x tal que a<x<b y de acuerdo al paso anterior a y b son el ínfimo y el supremos respectivamente, existen puntos x1 y x2 en S tales que a<x1<x<x2<b. Por lo tanto, x está en S y concluimos que
S = (a,b) si a,b no están en S;
S = [a,b) si a está en S y b no está en S;
S = (a,b] si a no está en S y b está en S;
S = [a,b] si a,b están en S.
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El caso en que S no sea un conjunto acotado se deja como ejercicio y se realiza de manera análoga.
Teorema 5.8 Imagen de intervalo.
Si f es una funcin continua sobre un intervalo I, entonces f(I) es un intervalo.
Aquí denotamos la imagen del intervalo I como
f(I) = {f(x): x está en I}.
Demostración:
Paso 1. Supongamos que el conjunto f(I) contiene al menos dos puntos f(x1), f(x2) con f(x1)<f(x2).
Paso 2. si t en un elemento del intervalo abierto (f(x1),f(x2)), por el teorema del valor intermedio, existe un punto c en el intervalo abierto (x1,x2) tal que f© = t.
Paso 3. Por lo tanto, t pertenece a f(I) y por el teorema 5. concluimos que f(I) es un intervalo.
@
Teorema 5.9 Acotamiento de funciones continuas.
Si f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces f está acotada sobre [a,b].
Demostración:
Paso 1. Supongamos que f no está acotada sobre el intervalo cerrado [a,b]; es decir no existe un número c>0 tal que |f(x)|<0 para toda x en [a,b].
Paso 2. Usamos ahora el método de bisecciones sucesivas del intervalo [a,b]. Sea c = (a+b)/2 y formemos los subintervalos [a,c] y [c,b]. Es claro que f no está acotada en al menos uno de los subintervalos anteriores, por la hipótesis del paso anterior. Denominemos [a1,b1] al intervalo donde f no está acotada y lo tomamos como [a,c], el intervalo de la izquierda, si la funcin no está acotada en ambos intervalos.
Paso 3. Hacemos bisecciones sucesivas de la misma manera que en el paso anterior y denotamos como [an+1,bn+1] a la mitad del intervalo [an,bn] en el cual f no está acotada y tomamos el intervalo que queda a la izquierda si f no está acotada en ambos intervalos. Es claro que la longitud del intervalo [an,bn] es (ba)/2n.
Paso 4. Hemos construido el conjunto
A = {a, a1, a2, . . . , an,…}
Que no es vaco y está acotado superiormente; por lo tanto existe el sup A = w; además, w pertenece al intervalo [a,b].
Paso 5. Por la continuidad de f en w, para e=1>0, existe un d>0 tal que
|f(x) f(w)| < 1
si x en Dom f y |x w| < d. Si w=a el intervalo será [a,a+d), y si w=b será (bd,b].
Paso 6. Usamos la desigualdad del triángulo en el paso anterior para establecer que
|f(x)| ‹ 1 + |f(w)|,
lo cual establece que f es una funcin acotada sobre el intervalo abierto (wd,w+d).
Paso 7. El intervalo [an, bn] está contenido en el intervalo (w d, w+d) si el número de bisecciones es tal que (ba)/2 2 < d. Por lo tanto, f está acotada en el intervalo [an, bn], lo cual contradice la hipótesis del paso 3, que a su vez se desprenda de la hipótesis original.
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Teorema 5.10 Teorema del valor extremo.
Si f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces existen puntos c y d en [a,b] tales que
f© = sup f y f(d) = inf f.
Es suficiente con demostrar que f alcanza su supremo sobre el intervalo [a,b]. La prueba de la otra parte se realiza de manera análoga.
Demostración:
Paso 1. Sea M = sup f y supongamos que para toda x en el intervalo cerrado [a,b], f(x) /= M.
Paso 2. La funcin g, con regla de correspondencia
1
g(x) =
M f(x)
es continua sobre el intervalo [a,b] de acuerdo al teorema 5.
Paso 3. Según el teorema de acotamiento, g es acotada sobre [a,b]; es decir, existe c>0 tal que |g(x)| _< c para toda x en [a,b]. Esto es
1
_< c
M f(x)
Paso 4. De modo que
f(x) _< M 1/c
para toda x en [a,b], lo cual es una contradicción a la hipótesis de que M = sup f.
@
Teorema 5.11 Propiedad de continuidad uniforme.
Sea f una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces para cualquier e>0 existe una partición de [a,b] en n número finito de subintervalos tal que el recorrido de f en cada subintervalo es menor que e>0.
Demostración:
Paso 1. Supongamos que el teorema es falso. Esto es, supongamos que para eo>0, no existe una partición del intervalo cerrado [a,b] en un número finito de subintervalos en cada uno de los cuales el recorrido de f sea menor que eo.
Paso 2. Usamos el método de bisecciones sucesivas. Sea c el punto medio de [a,b]. Entonces, para la misma eo, el teorema es falso al menos en uno de los subintervalos [a,c] o [c,b].
Paso 3. Denominamos [a1,b1] al subintervalo en el cual el teorema es falso para la eo dada. Si el teorema es falso en ambos subintervalos, entonces [a1,b1] representa al intervalo de la izquierda [a,c].
Paso 4. Realizamos bisecciones sucesivamente y denotamos por
[an+1,bn+1]
a la mitad del subintervalo
[an,bn]
en el cual el teorema es falso para la eo dada; y también denota el intervalo de la izquierda en el caso de que el teorema sea falso en ambos subintervalos. Debemos observar que en cada subintervalo construido por el proceso de bisecciones se tiene que el recorrido de f es menor que eo.
Paso 5. Denotamos por A el conjunto construido
A = {a1, a2, a3, . . . , an, . . . }
que no es vaco y está acotado superiormente, por lo tanto existe el sup a = w; entonces w pertenece al intervalo [a,b].
Paso 6. Por la continuidad de f en w, existe un d>0 que determina el intervalo abierto (wd,w+d) en el cual es recorrido de f es menor que la eo dada.
Paso 7. Sin embargo podemos hacer que el intervalo
[an,bn]
quede contenido en el intervalo (wd,w+d) cuando n sea suficientemente grande para que la longitud (ba)/2n < d, de manera que el recorrido de f en dicho intervalo sea menor que la eo dada. Esta contradicción la hipótesis del paso 1.
@
Teorema 5.12 Continuidad de la funcin inversa.
Sea f una funcin continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y estrictamente creciente sobre [a,b]. Sea c=f(a) y d=f(b) y g la funcin inversa de g; entonces
i) g es continua sobre el intervalo cerrado [c,d] y;
ii) g es estrictamente creciente sobre [c,d].
Decimos que f es estrictamente creciente sobre [a,b] si f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 en [a,b] tales que x1<x2.
El inciso (ii) nos indica que g es una funcin estrictamente creciente si f es estrictamente creciente. Más adelante se analizaran este tipo de funciones.
Demostración del inciso (ii):
Paso 1. Tomemos y1 < y2 en [c,d] y hagamos x1=g(y1) y x2=g(y2).
Paso 2. Entonces como g es la funcin inversa de f tenemos que y1=f(x1) y y2 = f(x2); además y1 < y2 implica que x1 < x2 el cual a su vez implica que g es estrictamente creciente sobre [c,d].
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La figura ilustra la demostración del inciso (i):
Demostración del inciso (i):
Paso 1. Sea yo un punto del intervalo cerrado [c,d]. Para demostrar que g es continua en yo se debe mostrar que para cada e>0 existe un d>0 tal que
g(yo) e < g(y) < g(yo) + e
Sí
yo d < y < yo + d.
Paso 2. Sea xo = g(yo), de manera que f(xo) = yo. Sin perder generalidad podemos tomar un e>0 suficientemente pequeño para que tanto xoe como xo+e sean puntos del intervalo cerrado [a,b].
Paso 3. Sea d = min{f(xo)f(xoe), f(xo+e)f(xo)}. Se puede ver que esta d>0 funciona para satisfacer el paso 1.
@
Ejercicios.
1. Demuestre el teorema 5.7 en el caso en que S no es acotado.