La primera forma de representar una curva plana es la siguiente. Supongamos que tenemos la curva en el plano XY. Se toma un segmento del eje X, que llamaremos [a,b] y, para cada valor de x en ese segmento le asociamos una coordenada Y, f(x). Los puntos así formados se llaman curva en forma explícita y = f(x). Este tipo de curvas tiene varias desventajas, siendo la más obvia que para cada valor de x existe solamente un punto de la curva sobre ese valor. Podemos imaginar una curva de este tipo como un “levantamiento” del segmento [a,b].
Newton basa su definición y cálculo de la curvatura de una curva plana en cartesianas en las siguientes afirmaciones:
• Un círculo tiene curvatura constante que es inversamente proporcional a su radio.
• El “círculo más grande” que es tangente a la curva (por su lado cóncavo) en un punto tiene la misma curvatura que la curva en el punto.
Newton define el centro de este círculo como el punto de intersección de las rectas normales a la curva en puntos de ella arbritariamente próximos.
Curvatura de una curva plana en coordenadas cartesianas Consideremos una curva plana en coordenadas cartesianas parametrizada por su longitud de arco s
(s) = (x(s), y(s))
El vector tangente unitario a la curva en un punto genérico P es
d/ds= (x’(s), y’(s))
Intuitivamente podemos imaginar que la curvatura de la curva mide la variaci´on de su vector tangente en su traslado a lo largo de ella, lo que conduce a las siguientes definiciones:
Se llama vector de curvatura en P al vector
d2/ds2 = (x”(s), y”(s))
Ecuaciones parametricas
Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t
Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones,
Se ve que los puntos de la curva están situados en el cilindro circular
X2 + y2 = 4
z
cilindro x2+ y2 = 4
x
y
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Curvas Planas Y Ecuaciones Parametricas En una ecuación paramétrica estudiaremos una situación en la cual es útil introducir una tercera variable para representar una curva en el plano. Para ver la utilidad de este procedimiento, considérese la trayectoria de un objeto lanzado al aire formando un Angulo de 45º. Si la velocidad inicial del objeto es de 48 pies por segundo, puede verse que sigue la trayectoria parabólica dada por :
Y = x /72 + x (ecuación rectangular)
Esta ecuación no nos dice todo. Aunque nos dice donde ha estado el objeto, no nos manifiesta cuando ha estado el objeto en un punto dado de la trayectoria ( x , y ). Para determinar este instante, introducimos una tercera variable visible t, a la que llamaremos parámetro. Rescribiendo ambas, x e y, como funciones de t, obtenemos ecuaciones paramétricas.
Si f y g son funciones continuas de t en el intervalo I, entonces el conjunto de pares ordenados (f(t) , g(t)) se le denomina curva plana C. Las ecuaciones X= f(t) = g(t) se denominan ecuaciones parametricas de C, conociéndose a t como parámetro.
En conclusión podemos decir que cuando se nos pida una ecuación parametrica se nos esta pidiendo una ecuación para X y una ecuación para Y si hablamos de un plano bidimensional.
CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS
DEFINICION DE UNA CURVA PLANA SI f Y g son funciones continuasde t en un intervalo I, entonces x=f(t) y y=g(t) se les llama ecuaciones parametricas y a t se llama parametro. al conjunto de puntos(x,y) que se obtiene cuando t variasobre ele intervalo I se le llama la grafica de las ecuaciones parametricas. A las ecuaciones paramertricas y ala grafica juntas, es alaoa que se llama una curva plana, que se denota por C
