1. La función de utilidad de Jaime Tete está dada por . Si el ingreso de Jaime se incrementa en 15 nuevos soles, es seguro que su gasto en el bien 2 crecerá en 5 nuevos soles. Verdadero. Falso. ¿Por qué?
2. Estime la elasticidad precio de demanda, la elasticidad ingreso de demanda y la elasticidad cruzada de demanda. Analice sus resultados.
3. Encuentre la función precio consumo y grafiquela. Encuentre las funciones marshallianas de demanda y grafiquelas. Analice sus resultados.
4. Encuentre la función ingreso consumo y grafiquela. Encuentre las funciones de Engel y grafíquelas. Analice sus resultados.
5. El ingreso de Jaime Tete es de 60 nuevos soles y el precio de los bienes 1 y 2 es 4. Encuentre el óptimo del consumidor.
6. Si el precio del bien 2 cae a 2 estime el efecto total, el efecto sustitución a la Slutsky y el efecto ingreso para cada uno de los bienes. Grafique sus resultados.
La función de utilidad de Jaime Tete está dada por . Si el ingreso de Jaime se incrementa en 15 nuevos soles, es seguro que su gasto en el bien 2 crecerá en 5 nuevos soles. Verdadero. Falso. ¿Por qué? La función de utilidad de Jaime es del tipo Cobb Douglas. Tiene una continuidad suave, convexa y su tasa subjetiva de cambio es decreciente. En estos casos la canasta óptima es una solución interior. Esto significa que la canasta que maximiza la utilidad, dados los precios y el ingreso, es aquella donde la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente de la recta de presupuesto.
Estimamos primero la tasa subjetiva.
Para la canasta óptima se debe cumplir que la tasa subjetiva de cambio es igual a la tasa objetiva de cambio.
Y el gasto en ambos bienes debe agotar el ingreso del consumidor:
Por lo tanto
Y entonces
Es decir, el gasto en el bien 1 es un tercio del ingreso del consumidor. Una conclusión parecida se puede obtener en relación al gasto en el bien 2. Sabemos que
y que
Entonces
Y entonces:
Es decir , el gasto en el bien 2 es igual a dos tercios del ingreso del consumidor. En consecuencia, si Jaime recibe 15 nuevos soles, destinarrá dos tercios, 10 nuevos soles al consumo del bien 2 y un tercio, 5 nuevos soles al consumo del bien 1.
2. Estime la elasticidad precio de demanda, la elasticidad ingreso de demanda y la elasticidad cruzada de demanda. Analice sus resultados. Para estimar la elasticidad precio de demanda partimos de la relación de equilibrio encontrada en la pregunta anterior. Aquella que resulta de igualar la tasa subjetiva con la tasa objetiva sujetos a la restricción de presupuesto.
La elasticidad precio de demanda del bien 1 es
Entonces
Y en el caso del bien 2, la elasticidad precio de demanda es
Entonces
En consecuencia la elasticidad precio de demanda para los bienes 1 y 2 es igual a −1 y no dependen del punto específico de la curva de demanda donde se estime la elasticidad. Los bienes 1 y 2 tienen elasticidad precio de demanda constante. Como el valor de la elasticidad es la unidad, esto significa que el gasta en cada bien es constante e igual a una proporción fija del ingreso como se vió en el problema anterior.
Siguiendo el mismo procedimiento podemos estimar la elasticidad ingreso.
La elasticidad ingreso de demanda del bien 1 es
sabiendo que
Y siguiendo el mismo procedimiento podemos estimar la elasticidad ingreso del bien 2.
sabiendo que
En consecuencia la elasticidad ingreso de demanda para los bienes 1 y 2 es igual a 1 y no dependen del punto específico de la curva de Engel donde se estime la elasticidad. Los bienes 1 y 2 tienen elasticidad ingreso unitaria, constante. Como el valor de la elasticidad es la unidad, los bienes 1 y 2 se encuentran en la frontera entre el lujo y la necesidad. Cuando la elasticidad ingreso es mayor a la unidad el bien es un lujo y cuando es menor a la unidad (pero mayor a cero) es una necesidad. En este caso ambos bienes, 1 y 2 se encuentran en la frontera entre este tipo de bienes.
En el caso de la elasticidad cruzada de demanda, se trata de analizar el impacto sobre la cantidad demandada de un bien cuando el precio del otro bien ha cambiado. La elasticidad precio de demanda para los bienes 1 y 2 viene dada por
Y sabemos que
y que
Se aprecia que la cantidad óptima de cada uno de los bienes depende directamente del nivel del ingreso e inversamente de su propio precio y no depende del precio del otro bien. En otras palabras
Y entonces llegaríamos a
En consecuencia la elasticidad cruzada de demanda para los bienes 1 y 2 es igual a 0 y los bienes no son complementrios brutos ni sustitutos brutos. Se trata de bienes independientes.
3. Encuentre la función precio consumo y grafiquela. Encuentre las funciones marshallianas de demanda y grafiquelas. Analice sus resultados.
La curva precio consumo es el locus geométrico de todas las canastas óptimas cuando el precio de uno de los bienes cambia y se mantienen constantes el precio del otro bien y el ingreso.
En el caso del bien 1, vamos a estudiar el comportamiento del consumidor cuando varía el precio del bien 1 mientras se mantiene constante el precio del bien 2 y el ingreso.
Ya sabemos que
asumiendo que el precio del bien 2 es constante y el ingreso es constante, tenemos
Las cantidades óptimas del bien 1 dependen del precio del bien 1. Las cantidades óptimas del bien 2 son constantes cuando el precio del bien 2 y el ingreso es constante. En consecuencia la curva precio consumo está dada por
En el caso del bien 2, vamos a estudiar el comportamiento del consumidor cuando varía el precio del bien 2 mientras se mantiene constante el precio del bien 1 y el ingreso.
Ya sabemos que
asumiendo que el precio del bien 1 es constante y el ingreso es constante, tenemos
Las cantidades óptimas del bien 2 dependen del precio del bien 2. Las cantidades óptimas del bien 1 son constantes cuando el precio del bien 1 y el ingreso es constante. En consecuencia la curva precio consumo está dada por
Graficamente la curva precio consumo para el bien 1 es una horizontal. A medida que el precio del bien 1 va cambiando cambia la cantidad óptima del bien 1 pero no la del bien 2.
En el caso de la curva precio consumo para el bien 2, a medida que el precio del bien 2 va cambiando cambia la cantidad óptima del bien 2 pero no la del bien 1. En este caso la curva precio consumo es una vertical.
Las curvas de demanda marshallianas de los bienes 1 y 2 corresponden a las funciones
Son funciones no lianeales que dependen directamente del ingreso e inversamente de su propio precio. Graficamente están representadas por hiperbolas rectangulares como se puede apreciar en el siguiente grafico. Se obtienen a partir de su correspondiente curva precio consumo.
4. Encuentre la función ingreso consumo y grafiquela. Encuentre las funciones de Engel y grafíquelas. Analice sus resultados.
La curva ingreso consumo es el locus geométrico de todas las canastas óptimas cuando el ingreso del consumidor cambia y se mantienen constantes el precio del bien 1 y del bien 2.
Ya sabemos que
asumiendo que el precio del bien 1 y del bien 2 permanecen constantes y cambia el ingreso
También sabemos que
y asumiendo que el precio del bien 1 y del bien 2 permanecen constantes y cambia el ingreso
igualando estos resultados tenemos
Y de aquí llegamos a
Como los precios de los bienes 1 y 2 permanecen constantes, entonces
Que viene a ser la función ingreso consumo. Se trata del locus geométrico de las canastas óptimas de los bienes 1 y 2 cuando cambia el ingreso y permanecen constantes los precios. Es una función líneal de pendiente positiva. La grafica que sigue muestra los resultados obtenidos. A partir de la curva de ingreso consumo obtenemos las curvas de Engel de cada uno de los bienes y que están representadas por las funciones
Se trata de curvas lineales de pendiente positivas. Es decir los bienes 1 y 2 son bienes normales.
5. El ingreso de Jaime Tete es de 60 nuevos soles y el precio de los bienes 1 y 2 es 4. Encuentre el óptimo del consumidor.
Reemplazando en la demanda marshalliana de cada bien, obtenemos la canasta óptima.
La utilidad obtenida es
6. Si el precio del bien 2 cae a 2 estime el efecto total, el efecto sustitución a la Slutsky y el efecto ingreso para cada uno de los bienes. Grafique sus resultados.
Si el precio del bien 2 cae la cantidad demandada se incrementa de acuerdo con la función de demanda marshallaina. El cambio en la cantidad demandada se conoce como el efecto total. Es igual a la cantidad demandada frente al nuevo precio del bien 2 manteniendo el precio del bien 1 y el ingreso constante, menos la cantidad demandada del bien 2 a los precios y el ingreso iniciales.
Si la cantidad demandada del bien 2 se incrementa, +10, cuando el precio del bien 2 cae, entonces se trata de un bien ordinario.
Vamos a descomponer ahora el efecto total en los efectos sustitución e ingreso. Cuando el precio del bien 2 cae el bien 2 se abarata en relación al bien 1 y el bien 1 se encarece en relación al bien 2. Esto hace que el consumidor se desplaze desde el bien más caro en terminos relativos al más barato. Este es el denominado efecto sustitución. Pero cuando el precio del bien 2 cae la capacidad de compra del consumidor crece en terminos de las unidades que puede comprar del bien 2. Este es el denominado efecto ingreso.
Para estimar el efecto sustitución necesitamos separarlo del efecto ingreso. Para esto necesitamos modificar el ingreso del consumidor para dejarlo en condiciones de seguir consumiendo la canasta original pero enfrentado al nuevo precio del bien 2. Esto es, necesitamos estimar
Si a Jaime Tete le quitamos 20 nuevos soles, su ingreso se reduce a 40 nuevos soles y debe estar en condiciones de adquirir la canasta original. Es decir 10 unidades del bien 2, al precio de 2, un gasto de 20 nuevos soles; y 5 unidades del bien 1 al precio de 4 nuevos soles, un gasto de 20 nuevos soles. Hacen un gasto total de 40 nuevos soles. En consecuencia, Jaime ha sido “compensado” con un retiro de 20 nuevos soles sobre su ingreso para estar en condiciones de mantenerse sobre la misma canasta que maximizaba su utilidad los precios y el ingreso originales.
Pero si bien la canasta original se puede adquirir con el nuevo ingreso y frente al nuevo precio del bien 2, no quiere decir esto que Jaime quiera consumir esta canasta.
Como las preferencias de Jaime son regulares, el óptimo es una solución interior donde la tasa subjetiva debe ser igual a la tasa objetiva. Pero ahora la tasa objetiva a cambiado y entonces la canasta actual no es óptima. ¿Qué hace Jaime con su nuevo ingreso frente al nuevo precio del bien 2? La respuesta está en la función de demanda marshalliana
El efecto sustitución será
Jaime Tete puede comprar 10 unidades del bien 2, como antes, pero prefiere comprar 3.33 adicionales a estas 10 porque el bien 2 está más barato. Está sustituyendo el bien 1 por el bien 2.
Si ahora le devolvemos los 20 nuevos soles que retiramos de su ingreso, podemos conocer qué hará Jaime. Esto es el efecto ingreso
Si Jaime tiene más dinero compra más del bien 2. El bien 2 es un bien normal.
En consecuencia, si el precio del bien 2 cae de 4 a 2 la cantidad demandada del bien 2 se incrementa en 3.33 por efecto sustitución y en 6.66 por efecto ingreso, haciendo un efecto total de 10.
¿Y qué sucede con la cantidad demandada del bien 1 cuando el precio del bien 2 cae de 4 a 2?
El efecto total será
Como la cantidad demandada del bien 1 no depende del precio del bien 2, el efecto total es cero. ¿Qué con el efecto sustitución y el efecto ingreso?
En consecuencia, con un ingreso menor, de 60 a 40, y con el precio del bien 2 que cae de 4 a 2, Jaime prefiere consumir 1.66 menos unidades del bien 1. Está sustituyendo el bien 1 por el bien 2. Observe que 1.66 unidades del bien 1 al precio de 4 nuevos soles, permiten comprar 3.33 unidades del bien 2 al precio de 2 nuevos soles.
Si ahora le devolvemos los 20 nuevos soles que le retiramos a Jaime podemos estimar el efecto ingreso
Si Jaime tiene más ingreso compra más del bien 1. El bien 1 es un bien normal. Observe que el ES más el EI son de igual magnitud pero de signo contrario. Por eso el efecto total para el bien 1 de un cambio en el precio del bien 2 es nulo.
La canasta (5, 19) es la canasta óptima inicial. La canasta (5, 20) es la canasta final, resultante de un cambio en el precio del bien 2. Desde el punto de vista del bien 2, esto representa un efecto total de 20 - 10 = 10. Y desde el punto de vista del bien 1 representa un efecto total de 5 - 5 =0. En el grafico se aprecia el efecto sustitución para el bien 2, que va de 10 a 13.33 y el efecto ingreso que va de 13.33 a 20. También se aprecia el efecto sustitución para el bien 1, que va de 5 a 3.33 y el efecto ingreso que va de 3.33 a 5.
El efecto sustitución es el que permite alcanzar la canasta (3.33, 13.33) donde el consumidor se enfrenta a la nueva recta de presupuesto representada por el ingreso compensado de 40 y el nuevo precio del bien 2. Observe que esta recta de presupuesto es paralela a la recta de presupuesto final y pasa por la canasta inicial.