Concepto
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posicion de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una linea semi-infinita L saliendo del origen.A L se le conoce tambien como eje polar.
Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo
;, tendremos un vector definido por las variables r y . Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo ; en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.En el sistema de coordenadas polar, el punto P es representado por un tuplo de 2 coordenadas (r,θ). Usando terminos del sistema Cartesiano de coordenadas, 0
es la distacia del origen al punto P y 0360 (azimut) es el angulo entre el eje x positivo y la linea del origen al punto P.Defincion en el sistema Cartesiano
Las coordenadas polares r (la coordenada del radio) y
(la coordenada angular, comunmente llamada el Angulo polar) estas definidas en el sistema Cartesiano por:donde r es la distacia radial al origen, y
es el angulo contrario a las manecillas del reloj desde del eje X.En terminos de x y y:La ecuacion de una curva en coordenadas polares es conocida como una ecuacion polar, y el trazo de una curva en coordenadas polares es conocido como un trazo polar.
En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.
Ejemplo de Funciones Polares
A continuacion se muestran algunas graficas de funciones polares, para darmos una mejor idea de como se representan.
Esta es la funcion
, que asemeja la forma de una rosa.Dependiendo del parametro son los petalos que manifiesta.
Esta es la funcion
, conocida como la Espiral Dorada, que es una de las formas mas comunes en la naturaleza y fue estudio de Da Vinci por mucho tiempo.
Esta es la funcion
, conocida tambien como “cardioide”, debido a que asemeja a un corazon.Otras Conversiones Utiles
- La longitud de arco de una curva polar definida por es
- El elemento de linea esta dado por:
- El Elemento de area esta dado por:
- El area bajo una curva polar definida por es:
- La pendiente de una funcion polar en un punto es:
