Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Concepto

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posicion de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una linea semi-infinita L saliendo del origen.A L se le conoce tambien como eje polar.

Definamos un sistema ortonormal con eje de abscisas X y eje de ordenadas Y. Tracemos un vector centrado en el origen y acostado en el eje de las abscisas, y de longitud r. Si ahora decidimos inclinarlo con un ángulo {$\large \theta$};, tendremos un vector definido por las variables r y {$\large \theta$}. Es decir, para definir un punto en el plano por ejemplo podemos, bien definir un par ordenado (x,y) en coordenadas cartesianas, bien dar un largo r de vector y un ángulo {$\large \theta$}; en coordenadas polares. Ambas precisan un mismo punto en el plano.

En el sistema de coordenadas polar, el punto P es representado por un tuplo de 2 coordenadas (r,θ). Usando terminos del sistema Cartesiano de coordenadas, 0{$\large \leq{r} $} es la distacia del origen al punto P y 0{$\large \leq{\theta}$}360 (azimut) es el angulo entre el eje x positivo y la linea del origen al punto P.

Defincion en el sistema Cartesiano

Las coordenadas polares r (la coordenada del radio) y {$\large \theta$} (la coordenada angular, comunmente llamada el Angulo polar) estas definidas en el sistema Cartesiano por:

{$\large x=r\cos{\theta}$}

{$\large y=r\sin{\theta}$}

donde r es la distacia radial al origen, y {$\large \theta$} es el angulo contrario a las manecillas del reloj desde del eje X.En terminos de x y y:

{$\large r=\sqrt{x^2+y^2}$}

{$\large \theta=\tan^{−1}{(\frac{y}{x})}$}

La ecuacion de una curva en coordenadas polares es conocida como una ecuacion polar, y el trazo de una curva en coordenadas polares es conocido como un trazo polar.

En muchos casos, es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.

Ejemplo de Funciones Polares

A continuacion se muestran algunas graficas de funciones polares, para darmos una mejor idea de como se representan.

Esta es la funcion {$ \large r=3\cos(2t) $}, que asemeja la forma de una rosa.Dependiendo del parametro son los petalos que manifiesta.

Esta es la funcion {$ \large r=\theta $}, conocida como la Espiral Dorada, que es una de las formas mas comunes en la naturaleza y fue estudio de Da Vinci por mucho tiempo.

Esta es la funcion {$ \large r=1-\sin{\theta} $}, conocida tambien como “cardioide”, debido a que asemeja a un corazon.

Otras Conversiones Utiles

  • La longitud de arco de una curva polar definida por {$\large r=r(x)$} es {$\large s=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \frac{dr}{d\theta}^2} d\theta$}
  • El elemento de linea esta dado por: {$ \large ds^2=r^2d\theta^2 $}
  • El Elemento de area esta dado por: {$ \large dA=rd r d\theta^2 $}
  • El area bajo una curva polar definida por {$\large r=r(x)$} es: {$\large A=\frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 d\theta$}
  • La pendiente de una funcion polar {$\large r=r(x)$} en un punto {$\large (r,\theta)$} es: {$\large m=\frac{r+\tan{\theta} {dr\over d\theta}}{-rtan{\theta} {dr\over d\theta} }$}

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