Son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y
x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas
coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
La posición del punto A será:
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada
- Campos vectoriales
Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.
Un campo vectorial es en Rn es una aplicación F:ARn → Rn que asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.
Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En contraste, una aplicación f:A Rn → R que asigna un número a cada punto es un campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, …, Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.
La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes de la física.
- Campos escalares
Representa a una magnitud física que requiere de sólo un número para su identificación. Se trata de un concepto que data del siglo XIX. Su aplicación está orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, con las presiones en el interior de fluidos, con el potencial electroestático o con la energía potencial en un sistema gravitacional. Las funciones de estos fenómenos no se pueden modelar en un gráfico, por requerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo dan pie para estudiar el «espacio curvo» en el cual cohabitamos. Son también las herramientas optimizantes para aquellos casos donde intervienen distintas variables.
Matemáticamente, un campo escalar es una función , cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y se expresa de la siguiente manera:
En que es un vector de coordenadas (cartesianas) (x, y, z), que representa la posición del observador en el espacio.
Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas bidimensionales de los topógrafos que representan topográficamente a una región. El campo escalar que corresponde es el campo de altura H ( x, y ), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición de puntos sobre un plano proyectivo.
Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio bidimensional, en que la altura de un punto está dada por z = H ( x, y ).
- Operaciones con vectores
Las operaciones que se pueden realizar con los vectores en el plano.
SUMA Y RESTA DE VECTORES
Dados dos vectores libres del plano, definiremos suma de estos vectores al vector resultante de unir el origen del primer vector con el extremo del segundo vector, haciendo coincidir previamente el extremo del primer vector con el origen del segundo vector. Gráficamente se puede ver el desarrollo de esta operación: escogeremos un representante del segundo vector libre cuyo origen sea el extremo del representante del primer vector libre. Justo después, se unirá el origen del primer vector con el extremo del segundo vector.
Geométricamente, podemos dibujar un paralelogramo con estos dos vectores, y la suma nos dará la diagonal de dicho paralelogramo.
Para hallar el producto de un vector por un escalar (control a para u; control b para v), bastará con multiplicar el punto extremo del vector, y después sumar las coordenadas de los puntos origen y extremo.
Gráficamente, consiste en prolongar el vector u a-veces sobre la misma recta sobre la que está el vector v.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Si combinamos las dos operaciones anteriores, obtenemos combinaciones lineales de un conjunto de vectores. Dado un conjunto de vectores V ={u,v,w,s,t,…}, y un conjunto de escalares U = {a,b,c,d,e,…}decimos que una combinación lineal de vectores es toda expresión de la forma: a•u+b•v+c•w+d•s+e•t+…
Al hacer operaciones, el resultado final, es otro vector del plano. Se puede ver gráficamente en la escena cómo lo que hacemos es sumar dos nuevos vectores, obtenidos al multiplicarlos previamente por escalares.
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Para ello debemos definir un nuevo concepto: ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES.
El ángulo que forman dos vectores es el menor de los ángulos que definen las dos rectas sobre las que se encuentran dichos vectores.
Se define Producto escalar de los vectores u y v como el resultado de realizar las operaciones:
u•v= |u|•|v|•cos(u,v) donde |u| y |v| indican los
módulos de los vectores, y cos(u,v) es el coseno del ángulo que forman los dos vectores.
Gradiente
El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector, definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca.
El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso
del operador nabla: 
En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, los cuales representan valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.
Divergencia
Divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.
Se llaman fuentes escalares del campo 
al campo escalar
que se obtiene a partir de la divergencia de
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,
el resultado es sencillo
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es
donde los hi son los factores de escala del sistema. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresión anterior. Para coordenadas cilíndricas ( 
) resulta
Para coordenadas esféricas ( 
) resulta
Gracias a http://es.wikipedia.org por poner a nuestro alcanze semejante cantidad de informacion.
http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional
http://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano
Rotacional y Operador Laplaciano….
Rodriguez Maria ITMOCHIS