Convergencia en Sucesiones y Series Numéricas
Generalidades
En general, en este capítulo se expondrán los criterios de convergencia para series numéricas en el campo de los números reales y en ocasiones para los números complejos, no obstante, estos criterios se pueden comprender para básicamente cualquier espacio en Rn, Cn, o en cualquier otro espacio métrico.
Comencemos nuestro estudio con el estudio de una sucesión o secuencia numérica entonces digamos que tenemos una aplicación X tal que X:N®Rp, con la cual se asigna un elemento xnÎRp a cada nÎN. Entonces establezcamos nuestra primera
Definición:
Sea S un espacio métrico cualquiera y sea X una aplicación, tal que X:N®S, de modo que X(n)=xn, dónde nÎN y xnÎS. Entonces decimos que X es una sucesión y la denotamos como {xn}.
Para una mejor comprensión de esta definición tomemos el tiempo para establecer algunos útiles
Ejemplos:
1. Sea {1/2n} una sucesión, en este caso es {½, ¼, …}
2. Sea {n} una sucesión, entonces será de esta forma {1, 2, 3, …}
3. Sea {1/n2} una sucesión.
Así podríamos continuar inventando sucesiones, pero no tendría sentido, si no consideramos algunas de sus propiedades. Entonces comencemos a definir algunas propiedades.
Definición:
Sean X={xn} y Y={yn} sucesiones en Rp, entonces:
a) X+Y={xn+yn} es la suma de sucesiones.
b) X-Y={xn-yn} es la diferencia de sucesiones.
c) X·Y={xn·yn} es el producto escalar de sucesiones, siendo xn·yn el producto escalar de los vectores en Rp.
d) Sean X={xn} y Y={yn} sucesiones en R entonces XY= {xnyn} es el producto de sucesiones en R.
e) Sean X={xn} y Y={yn} tales que xnÎRp y ynÎR ÞX/Y={xn/yn} es el cociente de sucesiones.
¿Qué sucede con el término n-ésimo cuando n tiende al infinito? Esto viene de la mano con el concepto de límite y con la convergencia de una serie, por lo tanto vamos a definir la convergencia de una sucesión y luego el límite.
Definición:
Sea {xn} una sucesión cualquiera en un espacio métrico S. Sea d(x,y) la distancia entre dos puntos x,yÎS, entonces:
a) Una serie converge si para todo e>0 $ N tal que “ n>N Þ d(x, xn)<e, o bien que su límite cuando n tiende al infinito es x. Y se escribe como .
b) Sea X={xn} una sucesión en un espacio métrico S. Entonces X converge a x, si para toda vecindad V(0) $ N(V(0)) tal que n, m>N(V(0)) Þ xn-xÎV(0).
c) Una sucesión es convergente si para todo e>0 $ N(e) tal que n, m>N(e) Þ d(xn,xm)<e.
Definición:
Sea X una sucesión en un espacio métrico S, si X no converge a ningún punto en S, se dice que X diverge.
Definición:
Sea X={xn} una sucesión en un espacio métrico S, entonces, si para todo e>0 $ N(e) tal que n >N(e) Þ d(L, xn)<e. Entonces se dice que L es el límite cuando n tiende al infinito de la sucesión, o bien el límite de la sucesión y se expresa como .
Aunque estemos siendo un poco redundantes en nuestras definiciones, es necesario que, aunque parezcan triviales, establezcamos las reglas del juego, puesto que más adelante sería ya demasiado tarde. Pero no nos detengamos aquí y sigamos con un
Teorema:
Sean X={xn} y Y={yn} sucesiones en R, tales que y entonces:
a)
b) “ cÎR
c)
d)
Demostración:
a) La hipótesis del teorema significa que para todo e>0 $ N1 tal que “ n>N1 Þ d(L, xn)‹e/2, y para todo e>0 $ N2 tal que “ n>N2 Þ d(M, yn)<e/2, Þ |L- xn|‹e/2 y |M- yn|‹e/2. Sea N=max(N1, N2) Þ n›N Þ |(L+M)-(xn+yn)|‹ |L- xn|+|M- yn|<e, lo que prueba el inciso (a).
b) Ahora tenemos que e>0 $ N tal que “ n>N Þ d(L, xn)‹e/|c| Þ |xn-L|‹e/|c|, por lo tanto |c|·|xn-L|‹|c|e/|c|, por lo que |cxn-cL|<e, por lo que queda probado el inciso (b).
c) Ahora podemos hacer que para todo e>0 $ N1 tal que “ n>N1 Þ d(L, xn)‹ , y para todo e>0 $ N2 tal que “ n>N2 Þ d(M, yn)< , Þ |L- xn|‹ y |M- yn|‹ . Sea N=max(N1, N2) Þ n›N Þ |(L- xn)( M- yn)|<e, entonces si usamos la identidad que dice que: LM-xnyn=(L- xn)(M- yn)+M(L- xn)+L(M- yn), pero como L-xn®0 y M- yn®0, entonces LM-xnyn®0, por lo tanto queda probado el inciso ©.
Q.E.D Definición:
Sea {xn} una sucesión tal que xn=xm “ n, mÎN, entonces decimos que la sucesión es una sucesión constante.
Teorema:
Sea {xn} una sucesión constante, entonces tiene límite y este es el límite es la constante.
Demostración:
La demostración es trivial, pues para cualquier e>0 $ N tan que n,m>NÞ |xn-xm|=0<e y como xm=xm. Este es el límite.
Q.E.D
Definición:
Sean {xn} y {yn} sucesiones cualesquiera en un espacio métrico S. Entonces si $ N tal que n>N Þ xn=yn entonces son sucesiones equivalentes y se escribe {xn}~{yn}.
Notemos que no necesariamente las sucesiones son iguales, puede ser que los primeros millones de millones de términos sean distintos, pero que en algún momento, todos los demás sean iguales. Entonces tenemos que las sucesiones son ambas convergentes o ambas divergentes, y si convergen, ambas convergen al mismo límite.
Teorema:
Toda sucesión equivalente a una sucesión constante es convergente a la misma constante.
Demostración:
Análoga al teorema anterior, puesto que para todo e>0 en algún N valdrá que m, n>N Þ|xn-xm|=0<e.
Q.E.D
Teorema: (Unicidad del Límite)
Una sucesión en Rp puede tener a lo sumo un límite.
Demostración:
Supongamos entonces que x’ y x” son límites de la sucesión, pero que x’¹x” entonces existirá V’ y V” vecindades disjuntas de x’ y x” respectivamente, entonces existirá N’(V’(x’)) tal que para todo n>N’ Þ xn-x’ÎV(0) así mismo existirá N”(V”(x”)) tal que para todo n>N” Þ xn-x”ÎV(0), pero si N=sup{N’, N”} Þ n>N Þxn ÎV?’ y xnÎV”, por lo tanto las vecindades no pueden ser disjuntas, contradiciendo la suposición que las vecindades son disjuntas, por lo tanto, toda vecindad de un límite tendría que ser vecindad del otro, pero si la vecindad es suficientemente pequeña, no queda más remedio que x’=x”.
Una demostración alternativa suponiendo que L y M son límites de la sucesión entonces la hipótesis significa que para todo e>0 $ NL(e) tal que n>NL Þ ||xn-L||‹e/2 así como e›0 $ NM(e) tal que m>NM Þ ||xn-L||‹e/2, por lo que ||xn- xn+(L-M)||£ ||xn-L||+||xm-L||<e, por lo que L-M®0, por lo tanto L=M
Q.E.D
Definición:
Sea X={xn} una sucesión en un espacio métrico S, entonces X es acotada si existe B(0,r) para 0<r<¥ tal que XÌB(0,r).
Teorema:
Sea X={xn} una sucesión en un espacio métrico S, tal que X es convergente, entonces X es acotada:
Demostración:
Si xn} es convergente, entonces para todo e›0 $ N(e) tal que m, n>N(e) Þ Þ xnÎ B(xm,r), por lo tanto la sucesión estará contenida en la bola, por lo tanto es acotada.
Teorema:
Sea X={xn} una sucesión en un espacio métrico S, entonces existe solo si X es convergente.
Demostración:
Para probar la implicación supongamos que existe el límite de la sucesión, entonces por definición tendremos que para todo e>0 $ N(e) tal que n >N(e) Þ d(L, xn)<e, por lo que si fijamos d(L, xn) y d(xm,L)<e/2 Þ por desigualdad del triángulo tendremos que d(xm,xn)< d(xm,L)+ d(L, xn)<e.
Para probar el recíproco supongamos no tenemos una sucesión equivalente a una constante, entonces tendremos que es infinita y acotada, por lo que podemos tomar el teorema de Bolzano-Weierstrass y decir que tiene un punto de acumulación L. Ahora supongamos que este será el límite. Como tenemos que L es punto de acumulación entonces para toda V(L) Þ {V(L)-{L}}Ç{X(N)}¹f (X(N) es el contradominio de la sucesión). Por otra parte para toda V(0) Þ Existe N(V(0)) tal que para todo m, n>N Þ xn-xmÎV(0), puesto que es convergente. Entonces tenemos que para algún N suficientemente grande n>N Þ xnÎV(L) puesto que L es punto de acumulación y la sucesión es convergente, por lo que podemos tomar que ||L-xn||<e, para todo n›N, por lo tanto L es el límite y decimos que la sucesión tiene límite y por teorema anterior es único.
Q.E.D
Subsucesiones
Definición:
Sea F:N®N tal que F sea inyectiva, sea {xn} una sucesión, entonces diremos que {xF(N)} es una subsucesión de la sucesión {xn}.
Teorema:
a) Si {xn} es una sucesión en un espacio métrico compacto S, entonces alguna subsucesión de esta converge a un punto de S.
b) Toda sucesión acotada en Rk contiene una subsucesión convergente.
Demostración:
a) Tomemos X(N) como el contradominio de la sucesión, entonces, tenemos dos casos, el caso en el que X(N) sea finito, en ese caso, puesto que la sucesión toma todos los valores de N, necesariamente hay repetición, por lo que podemos decir que una subsucesión de esta será equivalente a una sucesión constante, con lo que estaríamos listos.
Por otra parte, si X(N) es infinito, entonces nos podemos valer de un teorema que dice que para un conjunto infinito y compacto, tenemos un punto de límite, por lo tanto, podemos tomar una subsucesión conveniente cuyo límite sea el mismo del conjunto, con lo que queda probado el teorema, en su primer inciso.
b) Partiendo del inciso (a) y valiéndonos que si un conjunto en Rk es acotado, podemos tomar un conjunto cerrado arbitrario que lo contenga (la cerradura del mismo). Entonces podemos decir que si X(N) es acotado en Rk, entonces su cerradura es compacta, por lo que sigue del inciso anterior que contiene una subsucesión convergente.
Q.E.D
Sucesiones de Cauchy
Definición:
Sea {xn} una sucesión en un espacio métrico S tal que para todo e>0, existe N(e) tal que d(pn, pm)<e si N(e)³n, m. Entonces se dice que {xn} es una sucesión de Cauchy.
Esta es la misma definición que dimos de una sucesión convergente, esto se debe a la forma en que se suele definir la convergencia, puesto que algunos autores acostumbran a definirla por medio del límite y algunos otros por medio de vecindades, pero nosotros la hemos definido de las tres formas desde el inicio. Pero esto quedará explicado en el siguiente
Teorema:
Toda sucesión es convergente (de acuerdo con la definición por el límite) solo si de Cauchy.
Demostración:
Esta demostración ya la hemos realizado, puesto que demostramos que toda sucesión es convergente (por la definición como sucesión de Cauchy) solo si tiene límite, con lo que queda probado lo que deseamos.
Criterios de convergencia de las sucesiones
Hasta el momento, el método que hemos utilizado para probar la convergencia es calculando el límite o bien utilizando la propia definición, pero ahora vamos a establecer algunos criterios más sencillos y prácticos.
Teorema: (Convergencia monótona)
Sea X= {xn} una sucesión de números reales monótonamente creciente tal que x1£ x2 £ … entonces, la sucesión converge solo si es acotada. Es decir, Lim{xn}=sup{xn}.
Demostración:
Por teorema anterior sabemos que la sucesión es acotada pues es convergente. Ahora supongamos que L es el límite de la sucesión, entonces para todo e>0 $ N(e) tal que n>N(e)Þ d(L, xn)<e. Pero por ser monótonamente creciente tenemos que L-e< sup{xn}<L+e, de donde se obtiene que sup{xn}-L<e, para todo e>0, de donde L= sup{xn} por lo que por la unicidad del límite tenemos probado el teorema.
Ahora para el recíproco tenemos que la sucesión es acotada y es monótonamente creciente entonces por teorema precedente tenemos que la sucesión es convergente.
Q.E.D
Corolario:
Sea X= {xn} una sucesión de números reales monótonamente decreciente tal que x1³ x2 ³… entonces, la sucesión converge solo si es acotada. Es decir, Lim{xn}=inf{xn}.
Convergencia de Series
Definición:
Sea {an} una sucesión, sea S una aplicación tal que hace corresponder {sn} a {an} tal que , por lo que . Entonces decimos que S es una serie.
De aquí podemos obtener inmediatamente que sn-sn-1=an, por otra parte podemos definir así mismo bn=an-an-1, de donde tendríamos que an=a0+åbk. Ahora pasemos al tema de nuestro estudio que es la convergencia de una serie.
Definición:
Sea S una serie, entonces se dice que S es convergente solo sí para todo e>0 $ N(e) tal que n, m > N(e) Þ |sn-sm|=|an+1+…+am|<e.
De esta definición se puede desprender inmediatamente que una serie si una serie es convergente entonces necesariamente Lim an=0 con n tendiendo al infinito. (Esto haciendo n=k-1 y m=k en la definición) . Pero observemos que el recíproco no es válido, puesto que puede ser que el límite sea cero, pero que la serie no converja a ningún valor, tal es el caso de la serie inducida por {1/n}. De aquí podemos enunciar el siguiente
Teorema:
Sea S una serie convergente entonces Lim an=0 para n tendiendo al infinito. Es decir, que S converge solo si la sucesión es monótona y acotada.
De esto podemos obtener un criterio de comparación para las series, puesto que si tenemos que una serie converge, entonces otra serie cuyos valores absolutos de todos sus términos sean estrictamente menores que los términos de la serie convergente, entonces esta necesariamente converge.
Teorema: (Criterio de comparación de series)
Sea una serie convergente, entonces |ak|<ck “ kÎN, entonces converge.
Demostración:
Por definición de convergencia tenemos que:
|an+1+…+am|‹|an+1|+…+|am|<cn+1+…+cm<e
Por lo tanto, la serie es convergente.
Q.E.D Teorema: (Criterio de comparación de series)
Sea una serie divergente, entonces ak³ck³0 “ kÎN, entonces diverge
Demostración:
Como diverge entonces:
|an+1+…+am|³|cn+1+…+cm|³e
Por lo tanto la serie diverge.
Q.E.D Teorema: (Criterio de Convergencia)
Si a1³ a2 ³ … ³0, entonces converge solo si converge.
Demostración:
Sean Sn= y sea Tn= . Para mostrar el recíproco, así que suponemos que Tn converge, por lo que bastará con probar que Sn<Tn con lo que quedaría probado el recíproco del teorema. Entonces:
Si representamos cada sumatoria, según se agruparon por 2k veces el término k-ésimo, debido a que la sucesión es decreciente, entonces tendremos que
Con lo que queda probado el recíproco.
Por otra parte, para probar la implicación supongamos que S es convergente, entonces tendremos que:
Los agrupamos de modo que cada paréntesis es mayor que 2k-1 el k-ésimo término, es decir:
De donde, necesariamente, o las dos son acotadas o las dos son no acotadas, por lo tanto, las dos convergen o las dos divergen.
Q.E.D
El número e
Como ya sabemos podemos expresar al número e, de acuerdo con su desarrollo como una serie o como el límite en el infinito de un binomio, es decir:
La primera igualdad, se da por definición, pero la segunda, es necesario probarla, puesto que no resulta de la definición, mucho menos obvia a partir de la serie. Entonces tomemos:
Sn= y Tn=
Por el binomio de Newton, podemos expresar Tn como:
A partir de esto, resulta obvio que Sn£Tn puesto que todos los múltiplos que están junto a los factoriales son menores que 1. Por lo tanto Lim sup Tn es menor o igual que el número e.
Por otra parte si hacemos n³m tendremos que
Por lo que Lim inf Tn£ e. Por lo tanto, queda demostrado que:
Pero qué pasa con e, es la suma infinita de racionales, ¿Es posible que sea un racional? Supongamos que eÎQ y veamos qué sucede. Tenemos que
Pero si sustituímos n+k por n+2 tendremos que todos los denominadores serán menores, por lo que la expresión será mayor, entonces:
Ahora podemos ver que , entonces , como supusimos que eÎQ, es válido suponer que e=p/q, con (p,q)=1, entonces e-Sq=1/(q!q), si multiplicamos por q! Tendremos que q!(e-Sq)<1/q, pero por cómo se definió Sq=1+1/2!+…+1/q! Þ q!(e-Sq)ÎZ, pero esto es una contradicción, que parte de suponer que efectivamente eÎQ.
Pruebas de Convergencia
Teorema: (Criterio de la Raíz)
Sea åan, entonces sea a= lim sup |an|1/n, entonces:
a) Si a<1 la serie converge
b) Si a>1 la serie diverge y
c) Si a=1 la prueba no es concluyente
Demostración:
Si a‹1 entonces tomemos un b<a<1 tal que para algún N, entonces n>N signifique que: |an|1/n<b, por lo tanto, tendremos que la serie converge. Si a›1, entonces si tomamos un b cualquiera, entonces tendremos infinitos valores mayores que a, para asignarle a b, por lo tanto no se puede dar la convergencia. Si a=1, probémoslo por un contra ejemplo, con las series de 1/n y 1/n2, ambas son 1 para el criterio, mas la segunda converge y la primera diverge. Con lo que queda probado el teorema.
Q.E.D
Teorema: (Criterio de la razón)
Sea åan, entonces sea a= lim sup |an/an+1| entonces:
a) La serie converge si a<1
b) La serie diverge si a ³1