Se muestra la forma de generar familias de conjuntos con propiedades dadas. Se anexa un programa escrito en MATHEMATICA, el cual proporciona la familia que posee una propiedad espec´ıfica dada y que es generada por una familia de subconjuntos de un conjunto finito. Este programa es de utilidad para calcular algunos cardinales de las diferentes clases de familias (´algebras, topolog´ıas, anillos, etc.). Al final se muestra en una tabla la relaci´on entre las diversas clases. 1 Preliminares. Se llama familia de conjuntos a toda colecci´on de conjuntos de la forma F = Ai, en donde I es un conjunto (el conjunto de ´ındices). El conjunto I puede ser finito o infinito. Si I = ∅, entonces F es la familia vac´ıa : F = ∅. En una familia F = Ai cada uno de los Ai se denomina miembro de la misma. Para la familia F se define su uni´on por F = i∈I Ai = x y su intersecci´on por F = i∈I Ai = x Dado un conjunto X, la colecci´on P(X) de todos sus subconjuntos es una familia de conjuntos. Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritm´etica 2 Algunas familias de conjuntos. Una familia no vac´ıa de subconjuntos de un conjunto dado se puede definir por medio de cierta propiedad. Aqu´ı estudiaremos las propiedades Fu, Fi, Fui, Ftop, Fc, Falg, Fd, Fcd y Fid, las cuales caracterizan las clases de familias de conjuntos. Estas propiedades se definen a continuaci´on. Sea F una familia de conjuntos de un conjunto X. 1. Fu : es cerrada para la uni´on, si ella contiene la uni´on de dos cualesquiera de sus miembros, es decir, A ∪ B para cualesquiera A,B ∈ F. Si F es cerrada para la uni´on (brevemente, cerrada para ∪), entonces F, ∪ es un semigrupo (ya que la operaci´on ∪ es asociativa ). En particular, si F es cerrada para ∪, entonces ella es cerrada para uniones finitas de sus miembros. 2. Fi: es cerrada para la intersecci´on, si ella contiene la intersecci´on de dos cualesquiera de sus miembros, es decir, A ∩ B ∈ F para cualesquiera A,B ∈ F. Si F es cerrada para la intersecci´on (brevemente, cerrada para ∩), entonces F, ∩ es un semigrupo (ya que la operaci´on ∩ es asociativa ). En particular, si F es cerrada para ∩, entonces ella es cerrada para intersecciones finitas de sus miembros. 3. Fui: es cerrada para uni´on y la intersecci´on si ella es cerrada para ∪ y para ∩. En este caso, F, ∪, ∩ es un conjunto parcialmente ordenado (poset) por la relaci´on de inclusi´on ⊆, tal que sup(A,B) = A ∪ B y inf(A,B) = A ∩ B, es decir, es un ret´ıculo. Adem´as, este ret´ıculo es distributivo, ya que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∀A,B,C ∈ F 4. Ftop: F es una topolog´ıa en X si F es cerrada para uniones arbitrarias y cerrada para intersecciones finitas de sus miembros. En particular, ∅ ∈ F y X ∈ F. En efecto, ∅ = i∈∅ Ai y X = i∈∅ Ai 5. Fc: es cerrada para el complemento, si junto con cualquier miembro, ella contiene su complemento, es decir, A ∈ F ⇒ Ac def = X − A ∈ F. 6. Falg: es una ´algebra de subconjuntos de X si ella es cerrada para el complemento y la uni´on. Una ´algebra de subconjuntos de X es cerrada 122 Generaci´on En Mathematica De Algunas Familias . . . para la intersecci´on, ya que si A,B ∈ F, entonces A∩B = (Ac ∩Bc)c ∈ F. Adem´as, X ∈ F, ya que al ser F no vac´ıa, existe alg´un A ∈ F, luego Ac ∈ F, de modo que X = A ∪ Ac ∈ F. 7. Fd: es cerrada para la diferencia sim´etrica, si ella contiene la diferencia sim´etrica de dos cualesquiera de sus miembros, es decir, AΔB def = (A ∪ B) − (A ∩ B) ∈ F ∀A,B ∈ F. En particular, ∅ ∈ F, ya que al ser F no vac´ıa, existe alg´un A ∈ F, luego ∅ = AΔA ∈ F. Si es F cerrada para la diferencia sim´etrica (brevemente, cerrada para Δ), entonces F,Δ, ∅ es un grupo abeliano, ya que: (a) AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC y AΔB = BΔA (la operaci´on Δ es asociativa y conmutativa ). (b) AΔ∅ = A, es decir, ∅ es el elemento neutro para la operaci´on Δ. © Para cada A,B ∈ F, la ecuaci´on conjuntista AΔX = B admite soluci´on ´unica dada por X = AΔB. Por lo tanto, el inverso aditivo de A es A (la ´unica soluci´on de la ecuaci´on AΔX = ∅ es X = A, de modo que cada elemento del grupo es inverso de s´ı mismo). 8. Fcd: F goza de esta propiedad, si ella es cerrada para el complemento y la diferencia sim´etrica. 9. Fid: F goza de esta propiedad, si ella es cerrada para la intersecci´on y la diferencia sim´etrica. En este caso, F, ∩ es un anillo conmutatitvo y asociativo sin unidad (a menos que exista en F un elemento que contenga a todos los elementos de F), en donde la “suma” es Δ y el “producto” es ∩. El elemento neutro para la operaci´on Δ es ∅. Identificaremos una propiedad espec´ıfica con la clase de familias que dicha propiedad caracteriza. As´ı, por ejemplo, Falg(X) denotar´a la colecci´on de todas las ´algebras de subconjuntos de un conjunto dado. En este caso, la propiedad com´un a todas las familias de esta clase, es “ser cerrada para la uni´on y el complemento”. Si del contexto es claro qu´e es X, entonces simplemente denotamos esta clase por Falg. 123 Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritm´etica 3 Generaci´on de familias. En lo sucesivo, X denotar´a un conjunto finito. Definici´on 1. Dada una familia F de subconjuntos de X y una propiedad Π en el conjunto {Fu,Fi,Fui, Ftop,Fc,Falg,Fd, Fcd, Fid}, la familia m´as peque˜na de subconjuntos de X que contiene a F y que satisface la propiedad Π, se llama Π-familia generada por F. Esta familia se denota por F Π, o simplemente F si del contexto es claro qu´e es Π. As´ı, por ejemplo, F Ftop es la topolog´ıa en X generada por F y es la topolog´ıa m´as peque˜na que contiene a F. Se tiene el siguiente Teorema 1. Sea F una familia de subconjuntos de X y Π ∈ {Fu,Fi,Fui, Fc,Ftop,Falg,Fd, Fcd,Fid}, entonces F Π = F⊆R y R satisface Π R (1) es decir, F Π es la intersecci´on de todas las familias R de subconjuntos de X que contienen a F y que satisfacen la propiedad Π. Desde el punto de vista algor´ıtmico, la ecuaci´on (1) no es la m´as apropiada para hallar F Π, ya que deber´ıamos calcular todas las familias de conjuntos que satisfacen la propiedad Π, lo cual no es claro. Sea R una familia de subconjuntos de X. Se definen las siguientes familias: R∪ = A ∪ B, R∩ = A ∩ B, Rc = Ac, RΔ = AΔB. Ejemplo 1. (Generaci´on te´orica de F Falg) Sea F una familia de subconjuntos de X.Si la propiedad es Π = Falg, entonces Π involucra las familias Fcup y Fc, de modo que una familia no vac´ıa R de subconjuntos de X es una ´algebra de conjuntos que contiene a F si, y s´olo si, F∪ ∪ Fc ⊆ R. 124 Generaci´on En Mathematica De Algunas Familias . . . Para generar F Falg se define un operador Ψ : P(P(X)) → P(P(X)) de la siguiente manera: Ψ(∅) = ∅ y si R es un elemento de P(P(X)) − {∅}, entonces Ψ® = R ∪ Rc ∪ R∪. Puede suceder que algunos elementos en Ψ® se repitan, en cuyo caso eliminamos dichas repeticiones, de modo que en Ψ® sus miembros sean mutuamente distintos. Obs´ervese que R ⊆ Ψ® y que R = Ψ® si, y s´olo si, R es una ´algebra de subconjuntos de X, es decir, si, y s´olo si, la familia R es un punto fijo del operador Ψ. Con la ayuda de este operador, procedemos a definir una sucesi´on de familias de subconjuntos de X que contienen a F de la siguiente manera: F1 = Ψ(F) F2 = Ψ(F1) = Ψ(Ψ(F)) F3 = Ψ(F2) = Ψ(Ψ(Ψ(F)) ……………………………………………………………………….. Fn = Ψ(Fn−1) = Ψ(Ψ(· · ·Ψ n veces (F)) · · ·)) (n = 2, 3, · · ·). Obs´ervese que F ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ · · · Fn ⊆ Fn+1 ⊆ · · · ⊆ P(X) (2) para cualquier entero positivo n (esto en virtud de que, como se anot´o anteriormente, R ⊆ Ψ® ∀R ∈ P(P(X)). A partir de (2) podemos pensar que el n´umero de miembros de Fn puede crecer arbitrariamente junto con n. Sin embargo, esto no es cierto, ya que Fn ⊆ P(X) y el n´umero de miembros de P(X) es finito, ya que estamos suponiendo que X es un conjunto finito (m´as precisamente, si X posee s elementos, entonces en P(X) hay 2s elementos, as´ı que en Fn no puede haber m´as de 2s miembros, cualquiera que sea n). De otro lado, existe un entero positivo m tal que Fm = Fm+1 = Fm+2 = · · · = Fm+k = · · · (k = 1, 2, · · ·) (3) En efecto, si esto no es cierto, entonces para todo entero positivo m ser´ıa posible encontrar otro entero positivo k tal que Fm Fm+k. De este modo, 125 Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritm´etica para m = 1 existe k(1) tal que F1 F1+k(1), lo cual nos permite escoger un X1 ∈ F1+k(1) − F1. Para m = k(1) + 1 existe K(2) tal que Fk(1)+1 Fk(2), luego existe X2 ∈ Fk(2) − F1+k(1). Es claro que X2 = X1, ya que X2 ∈ F1+k(1) y X1 ∈ F1+k(1). Continuando de esta manera, ser´ıa posible construir una sucesi´on de {Xi}∞i=1 de elementos de P(X) tal que Xi = Xj para i = j, lo cual implicar´ıa que P(X) es infinito, lo cual es absurdo, por cuanto, ya que estamos suponiendo que X es un conjunto finito. Por consiguiente, de (3)) se sigue que existe un m entero positivo tal que Fm = Ψ(Fm), es decir, que Fm es una ´algebra de conjuntos que contiene a F. Veamos enseguida que Fm es el ´algebra m´as peque˜na de subconjuntos de X que contiene a F en el sentido de que si ˜F es otra ´algebra de subconjuntos de X que contiene a F, entonces Fm ⊆ ˜F. En efecto, si A ∈ Fm entonces A se puede representar como una uni´on finita de conjuntos de la forma B1 ∩ B2 ∩ · · · ∩ Bs ∩ Cc 1 ∩ Cc 2 ∩ · · ·∩ Cc t (4) en donde Bi, Cj ∈ F (i = 1, 2, · · · , t). Puesto que F ⊆ ˜F y ˜F es una ´algebra, entonces Bi, Cj ∈ ˜F y, por consiguiente, A ∈ ˜F (ya que ˜F es cerrada con respecto a las uniones finitas de sus miembros). Esto prueba la inclusi´on Fm ⊆ ˜F, lo cual equivale a afirmar que Fm = F Falg. En general, la misma idea de usar un operador es aplicable para generar F Π para una propiedad dada. En t´erminos computacionales, Mathematica dispone del comando “Fixed Point?” para hallar el punto fijo del operador. El an´alisis matem´atico realizado nos permite programar en Mathematica un algoritmo para hallar F Π. 4 Programa generador de familias en Mathematica. El problema computacional a resolver consiste en escribir un programa en el lenguaje de MATHEMATICA, el cual, dados un conjunto finito no vac´ıo, una familia no vac´ıa F de subconjuntos de X y una propiedad Π en el conjunto {Fu,Fi,Fui, Fc,Ftop,Falg,Fd, Fcd, Fid}, nos calcule la familia F Π. De esta manera, el programa debe tener tres par´ametros: X, F y Π. Su c´odigo se presenta a continuaci´on: 126 Generaci´on En Mathematica De Algunas Familias . . . In[1]:= Fam Gen?[Fami ,XX ,Pro ]:=Module[{kk,Dif Sim?,Soedi}, {Dif Sim[AA ,BB ]:= Union[Complement[AA,BB],Complement[BB,AA]], Fc[FF ]:=Union[Join[FF,Map[Complement[XX,#]&,FF]]], Fu[FF ]:=Union[Join[FF,Apply[Union,Table[ Union[Array[Union[FFiii?,FFiii+#?]&, Length[FF]-iii]],{iii, Length[FF]−1}]]]], Fi[FF ]:=Union[ Join[Apply[Union,Table[Union[ Array[Intersection[FFiii?,FFiii+#?]&, Length[FF]-iii]], {iii,Length[FF]−1}]],FF]], Fd[FF ]:=Append[Union[Join[FF,Apply[Union, Table[Union[Array[Dif Sim[FFiii?,FFiii+#?]&, Length[FF]-iii]], {iii,Length[FF]−1}]]]],{}], Fui[FF ]:=Union[Fu[FF],Fi[FF]], Ftop[FF ]:=Union[{{},XX},Fui[FF]], Falg[FF ]:=Union[Fu[FF],Fc[FF]], Fcd[FF ]:=Union[Fc[FF],Fd[FF]], Fid[FF ]:=Union[Fi[FF],Fd[FF]], Soedi[FF ]:=Union[Apply[Union,Map[#[FF] &,Flatten[{Pro}]]]]}; Fixed Point[Soedi[#]&,Fami]] Ejemplo 2. Consideremos la familia F = {{1, 2, 3}, {3, 4}, {5}} de subconjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Hallemos la topolog´ıa generada por esta familia. 127 Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritm´etica In[2]:=Fam Gen[{{1,2,3},{3,4},{5}},{1,2,3,4,5},Ftop] Out[2]={{}, {3}, {5}, {3, 4}, {3, 5}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}} El ´algebra generada por es In[3]:=Fam Gen[{{1,2},{3,4},{5}},{1,2,3,4,5},Falg] Out[3]={{}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}}. Ejemplo 3. Consideremos la familia F = {{1, 2}, {2, 3}} de subconjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Obtengamos las familias generadas por F, las cuales tienen las propiedades Fu,Fi,Fui, Ftop,Fc,Falg,Fd, Fcd y Fid, respectivamente: In[4]:= Familia={{1,2},{2,3}};Conjunto={1,2,3,4,5,6}; Map[Sequence Form?[#,“− >”,Fam Gen[Familia,Conjunto,#]]&, {Fu,Fi,Fui,Ftop,Fc,Falg,Fd,Fcd,Fid}] Out[4]= { Fu− >{{1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, Fi− >{{2}, {1, 2}, {2, 3}}, Fui− >{{2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, Ftop− >{{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, Fc− >{{1, 2}, {2, 3}, {1, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}}, Falg− >{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, 128 Generaci´on En Mathematica De Algunas Familias . . . {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, Fd− >{{}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}, Fcd− >{{}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 4, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, Fid− >{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}} En este ejemplo, todas las familias obtenidas son mutuamente distintas. En otras situaciones, algunas familias pueden coincidir. Ejemplo 4. El programa “Fam Gen” nos permite obtener el n´umero de familias que tienen las propiedades mencionadas en el Ejemplo 3.4 para los conjuntos {1, 2} y {1, 2, 3}. Hallemos, a manera de ejemplo, cu´antas topolog´ıas hay en {1, 2, 3}: In[5]:= ¡¡Discrete Math?‘Combinatorica‘ In[6]:= Length[Union[ Map[Fam Gen[#,{1,2,3},Ftop]&,Subsets[Subsets[{1,2,3}]]]]] Out[7]= 29 De acuerdo a este resultado, tenemos 29 topolog´ıas en el conjunto {1, 2, 3}. Estas topolog´ıas se pueden obtener por medio de la instrucci´on Union[Map[Fam Gen[#,{1,2,3},Ftop]&, Subsets[Subsets[{1,2,3}]]]]. En la Tabla 1 se muestran los cardinales de las clases de familias de subconjuntos correspondientes a conjuntos de 1, 2, 3 y 4 elementos, respectivamente : 129 Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritm´etica X Fu F1 Fui Ftop Fc Falg Fd Fc Fid {1} 3 3 3 1 1 1 2 1 1 {1, 2} 13 13 12 4 3 2 5 2 5 {1, 2, 3} 121 121 73 29 15 5 16 5 15 {1, 2, 3, 4} 4959 4959 732 355 255 15 67 16 52 Tabla 1. Cardinales de algunas familias. 5 Relaci´on entre las clases de familias. Sea un conjunto finito. Consideremos el conjunto Σ = {U,Fu,Fi,Fui, Ftop,Fc,Falg,Fd,Fcd, Fid}. Aqu´ı, U = P(P(X)), que representa la colecci´on de todas las familias de subconjuntos de X. En Σ est´an todas las clases de familias definidas en la Secci´on 3. Por ejemplo, Ftop es la clase (colecci´on) de todas las topolog´ıas en X. En Σ consideramos la operaci´on ∩ (intersecci´on de clases). Resulta que si Γ,Θ ∈ Σ, entonces Γ ∩ Θ ∈ Σ como se muestra en la Tabla 2. Apartir de esta tabla se concluye que (Σ, ∩, U) es un monoide conmutativo con unidad U. En la verificaci´on de la Tabla 2. se debe tener en cuenta que A ∪ B = (AΔB)Δ(A ∩ B) (5) y que A ∩ B = (AΔB)Δ(A ∪ B) (6) As´ı, por ejemplo, si F ∈ Fu ∩ Fd, y si A,B ∈ F, entonces AΔB ∈ F y A ∪ B, luego de (6) se sigue que A ∩ B ∈ F, lo cual prueba que F es cerrada para ∩ y Δ, es decir, F ∈ Fid. Por consiguiente, Fu∩Fd ⊆ Fid. La inclusi´on Fid ⊆ Fu ∩ Fd se puede probar a partir de (5). De esta manera, Fu ∩ Fd = Fid. 130 Generaci´on En Mathematica De Algunas Familias . . . ∩ U Fu Fi Fui Ftop Fc Falg Fd Fcd Fid U U Fu Fi Fui Ftop Fc Falg Fd Fcd Fid Fu Fu Fu Fui Fui Ftop Falg Falg Fid Falg Fid Fi Fi Fui Fi Fui Ftop Falg Falg Fid Falg Fid Fui Fui Fui Fui Fui Ftop Falg Falg Fid Falg Fid Ftop Ftop Ftop Ftop Ftop Ftop Falg Falg Falg Falg Falg Fc Falg Falg Falg Falg Falg Fc Falg Fcd Fcd Falg Falg Falg Falg Falg Falg Falg Falg Falg Falg Falg Falg Fd Fd Fid Fid Fid Falg Fcd Falg Fd Fcd Fid Fcd Fcd Falg Falg Falg Falg Fcd Falg Fcd Fcd Falg Fid Fid Fid Fid Fid Falg Falg Falg Fid Falg Fid Tabla 2. El conjunto Σ, ∩, U como monoide conmutativo 6 Conclusiones. El estudio en particular de algunas de las clases mencionadas de familias puede resultar de utilidad a la hora de tratar con estructuras algebraicas y topol´ogicas a nivel finito. El cardinal de cada una de las familias estudiadas se logr´o para conjuntos de hasta cuatro elementos. Existe una f´ormula recursiva para el n´umero de topolog´ıas en un conjunto finito, aunque es bastante complicada. En cuanto al n´umero de ´algebras, se puede decir que su n´umero viene dado por los n´umeros de Bell, ya que se es posible puede demostrar la existencia de una correspondencia biyectiva entre las ´algebras y las particiones de un conjunto finito dado. Sin embargo, elgunas de estas ´algebras son isomorfas en virtud del teorema de Stone. Bibliograf´ıa [1] Aigner Martin., Combinatorial Theory. Springer - Verlag. Berlin Heidelberg New York, 1979. [2] Andrews George E., The Theory of Partitions. Addison - Wesley Publishing Company, 1976. [3] Cohn, P. M., Universal Algebra. Harper & Row, Publishers. New York, Evanston and London, 1965. [4] Wolfram, Stephen. Mathematica. A System for Doing Mathematics by Computer, Second Edition , Addison - Wesley Publishing Company, 1993 131
Conjuntos abiertos- Conjuntos cerrados
De ahora en adelante nos dedicaremos a estudiar los llamados conceptos topológicos, los cuales se basan en la noción de conjunto abierto. Siempre que se hable de conjunto o espacio, supondremos que es diferente del vacío, a menos que se especifique los contrario.
Un conjunto A en un espacio métrico M, se dice conjunto abierto, si para cualquier punto a del mismo, podemos hallar una bola abierta B( a, r), la cual está contenida en A.
En todo espacio métrico siempre encontramos dos conjuntos abiertos, que son de poco interés y por lo tanto los llamamos los abiertos triviales, que son el vacío, denotado por Æ y el mismo espacio M .
Toda bola abierta es un conjunto abierto. Para demostrar este hecho, supóngase que se tiene una bola con centro en a y radio r, B (a, r). Si b es un punto dentro de esta bola, probaremos que existe un radio s, tal que la bola con centro en b y radio s está dentro de B ( a, r ). En otras palabras
B( b , s ) Í B ( a, r ) , para algún s > 0. (1)
El diagrama de abajo ilustra este hecho ( el punto a es de color negro y b es de color amarillo).
Basta tomar s < r - d( a, b) , para garantizar la condición (1).
En efecto, si x B (b, s) , entonces d ( b, x ) < s .Luego se tiene
d( x, a ) ≤ d ( x, b) + d( a, b) < (r - d( a, b)) + d( a, b) = r.
Por lo tanto, el punto x está en la bola abierta con centro en a y radio r y por lo tanto se tiene la condición (1).
En los números reales todo intervalo abierto ( finito o infinito) ( a, b), ( a, ∞) o bien ( - ∞, b ) es un conjunto abierto. El conjunto formado por un solo elemento {a }, no es abierto ¿ Por qué?
Si {U i } es una familia de conjuntos abiertos, entonces entonces la unión de todos ellos es un conjunto abierto. Esto es fácil de demostrar, pues si a es cualquier punto de la unión, a debe estar en al menos un conjunto U j, y por ser U j abierto, debe contener una pequeña bola con centro en a y radio r, para algún r >0, digamos:
B( a , r ) Í U j Í îþUi, para algún j > 0.
Si U 1, …, U n son conjuntos abiertos, entonces la intersección de ellos es también un conjunto abierto. Es importante apuntar aquí, que la intersección de cualquier familia infinita de abiertos, no es necesariamente abierto. Por ejemplo los conjuntos U i = ( −1/i , 1/ i) ( i > 1) son abiertos en el espacio métrico R, pero la intersección de todos ellos no es abierto en R, como veremos mas adelante.
Todo conjunto abierto A se puede “llenar “ con bolas abiertas del tipo B ( x, r) con x en A. ¿ Podrías demostrar esto? Observa la animación
En un espacio métrico ( M, d), un conjunto F se dice cerrado, si su complemento M \ F es un conjunto abierto.
Ejemplos de conjuntos cerrados hay muchos
1.
En el espacio ℝ de los números reales, todo intervalo cerrado [ a, b] es un conjunto cerrado, pues su complementario es la unión de dos conjuntos abiertos ( - ∞ , a) U ( b, ∞) , el cual es un conjunto abierto.
2.
También el conjunto firmado por un solo punto {a }es cerrado.
3.
En general, en cualquier espacio métrico , las bolas cerradas son conjuntos cerrados.
4.
Si F y H son cerrados en M entonces la unión F U H es cerrado. Esto es consecuencia de la leyes de de Morgan , pues el complementario de F U H , M \ (F ∪ H )es precisamente la intersección de M \ F y M \H , los cuales son abiertos. Pero como la intersección de dios abiertos es un abierto, entonces F ∪ H es cerrado por definición.
5.
Si F y H son cerrados entonces la intersección F ∩ H es cerrado.
Abiertos y cerrados relativos
Sea A un subespacio de un espacio métrico M. ¿ Cómo son los abiertos y los cerrados en A con la métrica inducida por M? Recordemos que las bolas abiertas de A son de la forma
B A ( x, r ) = B( x, r) ∩ A.
donde B( x, r) es una bola abierta en M.
Si Ω es un abierto de A, entonces para todo punto x de Ω, se puede hallar una bola B A (x, r) Í Ω .
Luego al hacer variar x sobre todo el conjunto Ω, podemos hacer
Ω = ∪B A (x, r) = ∪(B ( x, r) ∩ A)
= (∪B ( x, r)) ∩ A
Pero el conjunto U = (∪B ( x, r)) es un conjunto abierto en M . Luego podemos concluir que todo abierto relativo de A es igual a la intersección de un abierto de M con A. El reciproco de este resultado también es cierto ¿ Podrías probarlo?
Se puede demostrar, usando el mismo tipo de argumento, que:
todo conjunto cerrado relativo en A, es igual a un cerrado de M, interceptado con A.
Advertencia
1) Los conceptos de abierto y cerrado son relativos; ellos dependen del espacio métrico base y de la métrica. Por ejemplo si A = [ 0, 2] se considera como un espacio métrico con la métrica inducida por R, entonces A es un abierto. También [ 0, 1 ) es abierto, pues es la intersección de la bola B ( 0, 1) con A.
2) Para otra definición de conjunto cerrado, usando sucesiones, puedes ir al capítulo 4.
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