INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Rama de las matemáticas a las que el matemático Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dió su primer tratamiento formal en 1870.
En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.
DEFINICIONES DE CONJUNTOS.
Un conjunto es una colección de elementos que se agrupan mediante algunas características en común y que solo aparecen una sola vez.
Otras formas de definir un conjunto son las siguientes:
- Es una colección bien definida de objetos o cosas, donde, bien definida significa distinguir con claridad los elementos que forman parte del conjunto. - Son colecciones, agrupaciones o reuniones de elementos a los cuales identificamos por tener propiedades en común. - Es una colección de objetos; en los que a cada uno de los objetos que componen un conjunto se le denomina elemento de un conjunto.
Para representar que un elemento “a” pertenece al conjunto “A” se aplica el símbolo de pertenencia Î. Se utiliza a Î A, que se lee: “a” pertenece a “A”. y se conoce como relación de pertenencia, señala la relación entre elementos y conjuntos exclusivamente.
Si un elemento no pertenece a un conjunto se denota por Ï, por ejemplo si b no pertenece a A se expresara como b Ï A, que se lee: b no pertenece a A.
Algunos ejemplos de pertenencia son:
| Conjuntos | Elementos | Pertenencia |
| D = Un día de la semana | m = mayo | lÎD |
| M = Un mes del año | l = lunes | m Î M |
| Z = Un número entero | n = 2 | N Ì Z |
Formas de definir un conjunto.
1).- Enumerando todos los elementos del conjunto (solo se puede hacer si el conjunto es finito)
2).- Por medio de una propiedad característica de los elementos que forman a ese conjunto, esta propiedad puede expresarse de forma ordinaria o utilizando alguna simbología lógica.
3).- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas latinas, los elementos se colocan entre llaves, por ejemplo:
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = {a,v,e,s}
C = { Las soluciones de la ecuación }
N = {1,2,3,4,5,6,…} = {los números naturales}
L = { x=n(n+1)/2 donde n =1,2,3,4,…}
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Para determinar la forma de describir cómo han de agruparse los conjuntos comúnmente se utilizan dos formas: la forma tabular y la forma constructiva
Forma Tabular o extensiva
Es cuando el conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a esos elementos.
Ejemplos:
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o ,n , j, u, t, s }
D = {A, B, E, C, D, R, I, O}
Forma Constructiva o por compresión
Es cuando un conjunto es determinado por comprensión, o sea cuando se da una propiedad que la cumpla para todos los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A = { x l x es número entero}
B = { x I x es un número par menor que 10}
C = { x I x es una letra de la palabra conjuntos}
D = {x I x es una mujer de nacionalidad mexicana }
E = {x I x es color básico}
A continuación mostramos un cuadro comparativo de cómo describir dos conjuntos mediante la forma tabular o extensión y la forma constructiva o por compresión.
1;POR EXTENSIÓN 2:POR COMPRENSIÓN
1;A = { a, e, i, o, u } 2:A = { x I x es una vocal }
1;B = { 0, 2, 4, 6, 8 } 2:B = { x I x es un número par menor que 10 }
1C = {1, 3, 5, 7, 9 } 2C = { x I x es un número impar menor que 10 }
1D = { c, o, n, j, u, t, s } 2D = { x I x es una letra de la palabra conjuntos }
1E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } 2E = { x I x es una consonante }
1F = { Laura, Javier } 2F = {x I x es médico y esta en la clase}
1G = {mercurio} 2G = {x I x es un metal líquido }
Básicos de teoría de conjuntos ( Axiomática de Zermelo-Fraenkel):
£ Dos conjuntos son iguales, si y solamente, si tienen los mismos elementos.
£ Existe un conjunto sin elementos llamado vacío.
£ Si A y B son dos conjuntos, existe un conjunto cuyos únicos elementos son A y B.
£ La reunión de un conjunto de conjuntos es un conjunto.
£ Para todo conjunto A existe un conjunto que tiene por elementos las partes de A.
£ El producto de una familia de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío (axioma de elección).
£ Ningún conjunto es elemento de sí mismo.
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Un conjunto se dice finito si existe una biyeción de los elementos del conjunto con los números naturales , en caso contrario se dice que el conjunto se define como infinito.
Se dice que existe una asociación es biyectiva de A a B si existe una función de A en B que asocia uno y solo uno de los elemento (inyectiva y suprayectiva).
Ejemplos:
2
A = { x I x es la solución de x +2x+1=0 }
Conjunto finito
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }
Conjunto infinito
C = { x I x es un número par}
Conjunto infinito
W = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
Conjunto finito
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
Ejemplos:
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B = {a,v,e,s}
C = { Las soluciones de la ecuación }
N = {1,2,3,4,5,6,…} = {los números naturales}
L = { x=n(n+1)/2 donde n =1,2,3,4,…}
