El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espacio tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector A en tres dimensiones se representa con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector A (recuerda que A y representa el mismo vector) con punto inicial en O. Los vectores reciben el nombre de componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las direcciones de x, y, y z respectivamente. Por comodidad en la notación cada vector componente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada eje. A estos vectores unitarios se les designa por donde:
Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la siguiente manera.
Donde son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea las proyecciones del vector sobre los ejes x, y y z.
De esta manera el vector queda expresado así
La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces.
La dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras:
a) por medio de los cosenos de los ángulos directores
Son los ángulos que el vector forma con cada eje.
= ángulo entre el vector y el eje x
= ángulo entre el vector y el eje y
= ángulo entre el vector y el eje z
Los cosenos son respectivamente
Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar con los ángulos directores así.
b) por medio de los ángulos y de las coordenadas esféricas
Definimos dos ángulos; como el ángulo que hace el vector con el eje Z y como el ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo. Estos ángulos están dados de la siguiente forma:
A las variables se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma.
SILVIA EDITH GODINEZ BETO (TECNOLOGICO DE SAN JUAN DEL RIO)
