“Matriz Escalar”

Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.

Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta.

Una matriz A es antisimétrica (o hemisimétrica) si su traspuesta es igual a -A.

MATRIZ ORTOGONAL Una matriz se llama ortogonal si A T A = A A T = I. Este resultado implica que A T = A –1.

Ejemplo: Pruebe que la siguiente matriz es ortogonal.

Considere la siguiente matriz ortogonal

entonces

Esta relación genera las siguientes ecuaciones:

u1• u1 = 1 u1• u2 = 0 u1• u3 = 0

u2• u1 = 0 u2• u2 = 1 u2• u3 = 0

u3• u1 = 0 u3• u2 = 0 u3• u3 = 1

Esto quiere decir que los renglones de A son ortogonales y de longitud unitaria, es decir, forman un conjunto de vectores ortonormales. En forma similar se puede probar que las columnas forman también un conjunto de vectores ortonormales.

Una matriz cuadrada tiene un número de filas

p igual a su número de columnas q.

Son matrices de orden, p x p ó p2.

Las matrices:

A = 2 0 B = 0 2 3

-3 1 −1 0 2

0 0 0

son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.

Los elementos a11, a22, a33, … ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.

La diagonal principal será:

a11 … … …

A = … a22 … …

… … a33 …

… … … ann

una matriz cuadrada tal que:

a11 = a22 = a33 = …. = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.

La representaremos por I o sea:

IA = 1 0

  • 1

es una matriz de orden 2 x 2.

Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Esta es un matriz diagonal:

2 0 0 0

A = 0 3 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 4

Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.

Ejemplo:

A = 3 0 0 es una matriz inferior.

1 2 0

-1 0 4

B = 4 1 −2

0 1 5 es una matriz superior.

0 0 3

Esquema de filas, columnas y diagonal principal.

1 0 4 7 filas

A = 0 2 5 8

0 3 6 9

1 2 1 0 diagonal principal

columnas

Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.

Ejemplo:

0 0 0

A = 0 0 0

0 0 0

Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.

Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.

A = 1 −3 5

-3 2 0

5 0 1

es simétrica porque: a12 = a21 = −3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.

Una matriz es asimétrica si: aij = aji.

Observa si 1 = j, aii = -aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.

En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor absoluto y de signos contrarios.

B = 0 2 −2 5

-2 0 3 6

2 −3 0 −1

-5 6 1 0

es una matriz asimétrica

Matriz escalar

Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces tenemos una matriz escalar.

A = 3 0 0

0 3 0

0 0 3

Matriz identidad

Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Esta matriz se representa por 1n.

12 = 1 0

  • 1

igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.

Ejemplo:

A = a b B = x y

c d z w

si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.

Matriz transpuesta

Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).

Ejemplo:

Si

A = 4 −1 3

0 5 −2

entonces su traspuesta será:

At = 4 0

-1 5

  • −2

Matriz adjunta: Matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto. El adjunto de un elemento aij es el valor del determinante que se obtiene de eliminar la fila y la columna en la que se halla dicho elemento(menor complementario) multiplicadom por el signo correspondiente a su posicion, segun la regla de los signos o aplicando la expresion (−1)^ij. La matriz adjunta se representa A^* y se forma a partir de una matriz cuadrada.

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

Estoy invitando a todos los maestros y profesionales de esta area y/o carrera a colaborar construyendo este sitio dedicado a esta hermosa y util profesion aportando el material apropiado a cada uno de los mas de 1,000 temas que lo componen.

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Competencias Digitales (Tic’s Basicas) a practicar con este TEMA:

  • Usar (click en )www.Google.com para buscar y localizar UN material academico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta pagina.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta pagina.

pd: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citacion apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta pagina.

  • En el editor de Blogger usar colores para destacar los parrafos mas importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.
  • En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notacion matematica se debera usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notacion matematica con imagenes Latex, ver VIDEO LATEX ABAJO.
  • Construir al final y despues de la fuente del material, un breve resumen ( no mas de 2–3 parrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.

pd: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.

pd: Se pueden usar tambien cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.

  • PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de informacion y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos parrafos apropiados.
  • Enviar a el maestro o compañeros un correo electronico que incluya la liga a el tema en blogger para revision, recomendacion, sugerencias y evaluacion, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.
  • Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyo en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la caracteristica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentacion electronica y hoja de calculo) estan completamente en internet, es decir todos los archivos o material estaran en linea, seguros y siempre disponibles, ademas de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar publico como la biblioteca o un cafe internet.

  • Construir una Presentacion Electronica ( usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustrarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta pagina abajo.

pd: Recordar que una presentacion electronica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guia mental ), que ayuda a recordar los elementos y conceptos mas basicos del tema, cuando se estan exponiendo frente a un grupo.

pd: No olvidar incluir un primer slide con el titulo de la presentacion electronica, un segundo slide con un indice de la presentacion electronica y un ultimo slide con dos o tres parrafos de conclusiones y bibliografia.

  • Buscar en Google Imagenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galeria de fotos o de imagenes apropiadas al tema actual,
  • Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imagenes y tambien objetos (los recuerdan??), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.

pd: para estos sitios deberan obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

pd: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imagenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa pagina no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imagenes.

pd: El formato apropiado para fotos o imagenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

pd: Se puede construir y conseguir esta coleccion o galeria de imagenes con:

1) Usando Google Imagenes, recordar conseguir solo imagenes que tengan permiso de publicacion abierto, no usar imagenes o fotos que tengan derechos reservados.

pd: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket tambien tienen una gran cantidad de imagenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar a el tema o post en Blogger.

3) Tambien se puede usar la camaras digitales o las camaras de sus telefonos celulares.

4) Tambien se puede usar el programa o aplicacion llamado Srip32.exe( solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imagenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendra la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

  • Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se esta construyendo en Blogger.
  • PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galeria completa de imagenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.
  • Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta pagina.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

pd: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema ( no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

pd: El material en Audio, con formato MP3 se debera producir usando un microfono en la pc y programas de aplicacion apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.

  • Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos sera la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos sera un resumen del tema. ( buena voz o editarla con audacity)

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordor que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e insertarlo en el lugar apropiado del tema que se esta construyendo en Blogger.

4) Ejemplo del reproductor incrustado en una pagina:

  • Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguio en Gmail y Blogger y Flickr.

pd: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

  • Para producir video se pueden usar tres fuentes:

1) Localizar Videos apropiados en Youtube.

2) Usar nuestras camaras digitales o nuestros telefonos celulares para producir video.

3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora ( muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar ( no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.

3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.

  • Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la pagina con el tema e irlo comentando en voz apropiada)
  • Producir un video en vivo con la exposicion del tema ( pueden usar la presentacion electronica de fondo o cualquier otro material, pizarron, filminas, rotafolios, etc.)
  • Subir los videos a su cuenta en Youtube e incluirlos o ligarlos en la pagina en Blogger, tambien los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.

Saludos y suerte prof Lauro Soto, Ensenada, BC, Mexico.