La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica que virtualmente evita todas estas tediosas operaciones con números complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea de transmisión dad su longitud eléctrica y su impedancia de carga. Considérese la línea de transmisión uniforme y sin pérdidas, con resistencia característica Rc y constante de fase = 2/, como se ve en la figura 1.4. Como se discutió en la sección anterior, la impedancia de entrada a la línea en cualquier punto a lo largo de ella, , se puede determinar de la siguiente manera. FIGURA 1.4
El coeficiente del voltaje de reflexión en cualquier punto Z en la línea y la impedancia de entrada a la línea en el mismo punto Z, , se relacionan por:
(1.30) Y el coeficiente del voltaje de reflexión en cualesquiera dos puntos de la línea, Z 1 y Z 2, se relacionan por : (1.31)
Donde la constante de fase está dada por:
=2/= /V (1.32)
donde V es la velocidad de propagación de la onda dentro de la línea, asumiendo que el medio dentro de la línea es homogéneo y está caracterizado por las propiedades y ( ), es la frecuencia de operación en radianes y es la longitud de onda en el medio, en metros. Se cumple la relación =V / f, donde f es la frecuencia de operación en Hertz. La clave para entender la carta de Smith (lo cual es importante para su efectivo y adecuado uso), radica en el hecho de que la carta de Smith relaciona, gráficamente, la impedancia de entrada (1.30) en algún punto de la línea y el coeficiente del voltaje de reflexión (1.31) en ese mismo punto. Lo primero que se debe hacer es determinar la impedancia de entrada normalizada a la impedancia de la línea Rc. Para normalizar se realiza lo siguiente:
(1.33a) =r + j x (1.33b)
donde r y x son las partes real e imaginaria, respectivamente, de . De manera similar, el coeficiente de reflexión en este punto se puede escribir en términos de su parte real y su parte imaginaria p y q , respectivamente :
= p + jq (1.34)
Substituyendo (1.34) en (1.33a) obtenemos:
(1.35)
Si igualamos (1.33b) con (1.35) :
(1.36)
Si se iguala la parte real del lado izquierdo con la parte real del lado derecho en (1.36) y se iguala la parte imaginaria del lado izquierdo con la parte imaginaria del lado derecho en (1.36) y después se hace cierta manipulación algebraica, se obtiene :
, círculo de constante r (1.37a) , círculo de constante x (1.37b)
Las ecuaciones (1.37) son las ecuaciones de dos círculos. En particular, (1.37a) es la ecuación de un círculo de radio y centrada en el punto . La ecuación (1.37b) es la ecuación de un círculo de radio 1/X y centrada en el punto . La Carta de Smith se forma con la combinación gráfica de estos dos círculos, representados por las ecuaciones (1.37). El coeficiente de reflexión del voltaje =p + jq se puede dibujar en el plano pq. La ecuación (1.37a) da una relación entre la parte real de , entre r, p y q. La ecuación (1.37b) da la relación entre la parte imaginaria de , entre x, p y q, como se muestra en la figura 1.5.
FIGURA 1.5 Si se grafican las dos ecuaciones para distintos valores de r y x, y después se superponen ambas gráficas, se obtiene la Carta de Smith original (1949), la cual se muestra a continuación, en la figura 1.6 Las líneas de x constante son circunferencias de radio 1/x centradas en el punto [1, 1/x]. (líneas en azul). Figura 1.6B
FIGURA 1.6
Figura 1.6b
FIGURA 1.6C. Familia de circunferencias de radio 1/(r+1), centradas en (r/(r+1),0)
FIGURA 1.6D. Se representa en circunferencias centradas en el origen de la carta.
El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexión del voltaje y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el mismo punto de la línea, están relacionados por la carta de Smith (Fig. 1.6). En la parte exterior de la carta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta está una escala llamada “ángulo del coeficiente de reflexión en grados”, a partir de ésta se puede obtener directamente el valor de . Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la línea de transmisión en ´s el inicio de estas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denomina “wavelengths toward generator” (longitudes de onda hacia el generador), esto indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la línea, en unidades de . La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina “wavelenghts toward load” (longitudes de onda hacia la carga), esto indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia la carga, hacia el final de la línea, en unidades de . En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales está denominada “Reflection coeff. Vol” (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje, . El resto de las escalas deben ser explicadas en la clase. El punto importante es que la carta de Smith es una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea y utilizando la carta se pueden evitar los laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la línea o el coeficiente de reflexión. Otras aplicaciones de la carta de Smith son en el cálculo del inverso de un número complejo, lo cual resulta muy sencillo, y en el acoplamiento de las líneas de transmisión.
