2.3. Cuando los períodos de capitalización y pagos no coinciden En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas. Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones: 1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA). 2. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes. 2.3.1. Factores de pago único Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma: VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos: Tasa de interés efectiva i Unidades para n 1.5% mensual Meses 4.57% trimestral Trimestres 9.34% semestral Semestral 19.56% anual Años 42.95% cada 2 años Período de dos años 70.91% cada 3 años Período de tres años Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral: j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =? El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n.. Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables) Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años. Solución: Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%: j = 0.18; n = 4; i =? Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula [19]. n1..3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24 Respuesta: El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55 2.3.2. Factores de serie uniforme y gradientes Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos: 1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC 2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC 3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos: a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres. b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a). c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i. Ejercicio 122 (Capitalización de una anualidad semestral) Si ahorramos UM 300 cada 6 meses durante 5 años. ¿Cuánto habré ahorrado después del último abono si la tasa de interés es 24% anual compuesto semestralmente?. Solución: Como n está expresado en períodos semestrales, requerimos una tasa de interés semestral, para ello utilizamos la fórmula [44B]. C = 300; m = 2; j = 0.24; n = (5*2) = 10; i =?; VF = ? Con esta tasa calculamos el VF de estos ahorros aplicando la fórmula [27] o la función VF. Respuesta: El monto ahorrado es UM 5,264.62 2.3.3. Períodos de pagos menores que los períodos de capitalización Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades: 1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización. 2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple. 3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto. De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito.