Integración Mediante Fracciones Parciales
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo
En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales? Veamos los siguientes casos: CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante a determinar. Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema. A + B = 0 2A - 2B = 1 , las soluciones son : Quedando de esta manera: con
CASO 2: Factores Lineales Iguales. A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO: Calculemos la siguiente integral
Pero: Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos. A cada factor cuadrático reducible, que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma siendo A y B constantes a determinar. Ejemplo: Calcular:
Con lo que se obtiene
de donde
luego los valores a encontrar son. A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
Siendo los valores de A y B constantes reales. Ejemplo: Calcular la siguiente integral
tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1 De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
ITPN