Ya hemos visto cómo efectuar el cálculo de integrales indefinidas. Pero planteamos algunos ejemplos del calculo de una integral indefinida dependientes de parámetros, que en algunas ocasiones DERIVE no es capaz de resolver de forma automática.

EJEMPLO 6.2.

Calcular la siguiente integral indefinida

∫ + dx x x n 1 2 (arctg )

Solución:

En este caso el parámetro es el valor n.

Para resolver la integral bastará que editemos la expresión “(atan x)^n/(1+x^2)” y aplicamos sobre la misma Cálculo-Integrar,

marcando la opción Integral-Indefinida y al simplificar resulta (señalando como constante 0) Recuérdese que este resultado nos da una de las primitivas; para obtener la integral indefinida habría que añadir la constante de integración. Evidentemente, n≠−1. Sin embargo, no siempre resulta tan automático el cálculo de este tipo de integrales indefinidas: EJEMPLO 6.3. Demostrar para los distintos valores de n∈N y b∈R que se verifica la siguiente igualdad ∫ ∫ + = − + − dx x b b x n dx x x b xn n n 1 Solución. Cálculo Integral 91 En primer lugar debemos definir las variables n como entera y b como variable real. Esto se realiza utilizando la secuencia Definir-Dominiodeuna Variable y definiendo para n el Dominio-Enteros y el Intervalo-Positivos. Resulta en la ventana de álgebra la expresión Para b consideramos todos los reales, Definamos a continuación la expresión del integrando editando Si intentamos calcular directamente la integral indefinida se obtiene DERIVE no la ha calculado correctamente, ya que existen dos parámetros. Por tanto tenemos que utilizar otro procedimiento. Una posibilidad sería ensayar para diversos valores de n. Esto se puede realizar editando la expresión VECTOR(INT(x^n/(x + b), x), n, 0, 3) Al simplificar obtenemos las soluciones de dicha integral para los valores de n=0,1,2,3. De aquí podríamos plantear una conjetura. Parece que cada elemento se obtiene a partir del anterior multiplicando éste por −b y sumando al resultado n xn . Es decir que la conjetura que deberemos probar es ∫ ∫+ = − + − dx x b b x n dx x x b xn n n 1 igualdad que es equivalente a . 1 n dx x x b b x x b xn n n =        + + ∫ + − Por tanto tendremos que probar la igualdad anterior. Si editamos el integrando de la igualdad anterior y calculamos la integral indefinida Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 92 se obtiene la igualdad deseada, situación que confirma la validez de nuestra conjetura.