1.10.- APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Aplicaciones a la Biología: Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
Crecimiento Biológico: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era: dy / dt = y
con solución
y = ce Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si _ > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí _ < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si _ > 0 entonces tenemos que y!” si t!” , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.
Formulación Matemática:
Supongamos que y denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:
dy / dx = F(y) y = Yo para t=0
Donde Yo representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = _y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática
F(y) = y − y² , y = Yo para t = 0.
Puesto que la ecuación F(y) = _y − _y² es de variables separables, tenemos
dy / y − y² = dt ó “ dy / y ( − y) = t + c
esto es, “1/[1/y + /− y]dy = t + c
= 1/ [ln y − ln (_ − y)] = t + c Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que: Y = 1 + [Yo − 1] e Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!”, vemos, ya que _ > 0, que: Ymax = lim Y = t!”
Por simple álgebra encontramos: Ymax = lim Y = Y1(Yo − 2YoY2 + Y 1 Y 2?) t!” Y1² − Yo Y 2? Ejemplo: Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento. Edad____________ Altura (pul) Nacimiento__________ 19.4 1 año ______________ 31.3 2 años______________ 34.5 3 años ______________37.2 4 años ______________40.3 5 años ______________43.9 6 años ______________48.1 7 años ______________52.5 8 años ______________56.8 solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8. Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.
Problemas de Epidemiología: Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado.
Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.
Formulación Matemática: Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos
N = Ni + Nu
La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Estaderivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que: dNi / dt = Ao + A 1 Ni? + A 2 Ni?²
Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero
donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = −A1/N
Así que de: dNi / dt = Ao + A 1 Ni + A 2 Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N − Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
Ni = N _ 1 + (N/No − 1)e
Aplicaciones a la Economía: En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
Oferta y Demanda Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
D = _(p(t)),p´(t)
Llamamos la función de demanda.
Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:
S = g(p(t), p´(t)
Llamamos g a la función oferta.
Principio económico de la oferta y la demanda: El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir: _(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))
Las formas que debería tener y g son las siguientes: D = _(p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3
S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3
donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:
A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3
(A2 − B2)p´(t) + (A1 − B1)p(t) = B3 − A3
Asumamos que A1″B1, A2″B2 y A3″B3. Entonces podríamos escribir la formula como: p´(t) + (A1−B1/A2−B2)p(t) = B3−A3/A2−B2
Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado: p(t) = B3−A3/A1−B1 + [Po− (B3−A3/A1−B1)]e
Caso I: Si Po = (B3−A3)/(A1−B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.
Caso II: Si (A1−B1)/A2−B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.
Caso III: Si (A1−B1)/A2−B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3−A3/A1−B1 + [Po(B3−A3/A1−B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que Po >(B3−A3)/A1−B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 −B2)p´(t) + (A1 − B1)p(t) = B3 −A3.
Ejemplo: La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por
D = 48 − 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) +4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es, 48 − 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18
Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado:
p(t) = 6 + 4e
De este resultado vemos que, sí t!”, p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.
Inventarios: Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.
Formulación Matemática: Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + “t) = q(t) + “q es la cantidad disponible en tiempo t + “t. Así tenemos que:
Cantidad acumulada en intervalo t a t + “t = “q = q(t + “t) − q(t).
S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.
Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +”t están dados aproximadamente por S”t y D”t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran (“t)² y mayores.
Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + “t es igual a:
S”t − D”t + términos con (“t)² o mayores . Así “q/”t = S − D + términos con (“t)² o mayores.
tomando el limite cuando “t!0, dq/dt = S − D.
De esta ultima ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:
dp/dt = − dq/dt
Donde _ > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = − (S − D). Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = − (S − D) es una ecuación diferencial para p.
Ejemplo:
Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 − 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es _ = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0
solución: de la formula dp/dt = − _ dq/dt la ecuación diferencial requerida para p es:
dp/dt = −4(60 + 2P − 120+ 3p) o dp/dt + 20 p = 240
resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ce usando p = 8 en t = 0 da
c = − 4 y así p = 12 − 4e
Aplicaciones a la Química: Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.
Ejemplo: Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
•Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. •¿Cuanta sal está presente después de 10min? •¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
Formulación Matemática:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:
dA / dt = tasa de cantidad ganada − tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:
2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto, Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min. de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 − A/5.
Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es: dA / dt =6 − A/5 A = 5 en t = 0
solución: Usando el método de separación de variables, tenemos:
“ (dA / 30 − A) = “ (dt / 5) ó − ln (30 − A) = t / 5 + c Puesto que A = 5 en t = 0, c = − ln 25. Así, − ln (30 − A) = t/5 − ln 25 = ln[(30 − A)/25] = A = 30 − 25 e La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 − 25 e _² = 26.6 lb.
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!”, vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
Mezclas químicas: Ejemplo: Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática: Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 − 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 − x/3. Por tanto:
dx / dt = K [10 − (2x/3)] * [20 − (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 − x) (60 − x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial. La formulación completa es:
dx / dt = k[(15 − x) (60 − x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3 solución: La separación de variables produce:
dx / [(15 − x) (60 − x)] = “ k dt = kt + C1
Ahora ;
dx / [(15 − x) (60 − x)] = “ 1/45 [(1/15 − x) − (1/60 − x)]
dx= 1/45 ln [(60 − x) / (15 − x)]
así podemos mostrar que:
60 − x / 15 − x = C e
Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así ( 60 − x ) / ( 15 − x ) = 4 e Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 − x) / (15 − x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x = 15 [ 1 − (2/3)³t]
1 − (1/4)(2/3)³t Cuando t!”, x!15lb.
Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario
Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor especifico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.
Ejemplo: Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C.
(a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y © ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?
Formulación Matemática:
Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud l es 2_rl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación;
q = − KA dU/dn puede escribirse como:
q = − K(2 rl) dU/dr.
Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000 cm
tenemos que:
q = − 600_r dU/dr. De esta ultima ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20
solución: Separando las variables en q = − 600_r dU/dr. e integrando se obtiene:
- 600U = q ln r + c Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 tenemos − 600_ (200) = q ln 10 + c, −600(50) = q ln 20 + c de donde obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto, de − 600_U = q ln r + c encontramos que U = 699 − 216 ln r.
Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que la respuesta a la parte © es Q= 408.000 x 60cal/min.
= 24.480.000cal/min.
