Anillos
Definición: Un anillo ( R, +, * ) es un conjunto R no vacío con dos operaciones binarias? suma + y multiplicación * , tal que todos sus elementos cumplen los siguientes axiomas:
G1. Asociatividad de la suma:
a + (b + c) = (a + b) + c
G2. Elemento Neutro: Existe un elemento neutro 0 tal que
a + 0 = a
G3. Elementos Inversos: Para cada elemento a en R existe otro elemento b tal que
a + b = 0
G4. Conmutatividad de la suma:
a + b = b + a
R1. Asociativa de la multiplicación:
a * (b * c) = (a * b) * c
R2. Ley distributiva:
a * (b + c) = a*b + a*c
Las tres primeras propiedades corresponden a lo que se conoce como Grupo?, un grupo que cumple la propiedad G4 se llama grupo abeliano.
Otras propiedades importantes que puede cumplir un anillo son:
R3. Elemento neutro para la multiplicación: Existe un elemento neutro 1 tal que
a * 1 = a
R4. Conmutatividad de la multiplicación:
a + b = b + a
R5. Elementos Inversos Multiplicativos: Para cada elemento a diferente de ]+ 0 +] en R existe otro elemento b tal que
a * b = 0
Si tiene elemento neutro para la multiplicación se llama Anillo con Indentidad. Si cumple la propiedad conmutativa para la multiplicación se llama Anillo Conmutativo y si tiene todas las propiedades anteriores se llama Campo?.
Un anillo conmutativo con identidad que cumple la propiedad
R6. a * b = 0 implica a = 0 ó b = 0
se llama Dominio Integral?.
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